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Déterminer une base
Bonjour,
J'ai encore un petit souci pour trouver une base. Voici l'énoncé :
Soit F le sev de R^5 engendré par les vecteurs (1,0,1,-1,0), (2,1,2,1,1) et (3,1,2,0,1). Et je dois trouver une base de F. Je sais qu'une base correspond à toute partie génératrice et libre de cet espace vectoriel. Les 3 vecteurs sont indépendants donc ils forment une base. Ca c'est bon.
Soit G le sev de R^5 engendré par le vecteurs (1,1,3,-1,-1),(2,-1,-4,4,-1), (0,1,2,0,1) et (1,-2,-3,-1,-2).
Je dois déterminer la base de G mais je ne trouve aucune relation entre ces vecteurs je pense qu'ils forment donc une base non ?
Merci.
Rebonjour
Il ne suffit pas de dire que tu trouves pas de relation pour être sur qu'ils sont indépendants. Ou vien tu utilises un procédé du type pivot de Gauss, ou bien du trouves un déterminant 4
4 non nul, ou bien du écris une relation de liaison et tu démontres que les coefficients sont nuls, mais il faut démontrer que c'est libre! (je ne l'ai pas vérifié)
Oui merci. J'ai essayé avec le pivot de Gauss mais je tombe sur des calculs barbares. Pour trouver un déterminant 4x4 non nul vous pouvez m'expliquer comment on peut faire svp avant de me replonger dans le pivot... Merci.
Ok merci. Donc ce coup ci j'élimine par exemple le troisième et je regarde si c'est libre non ou je peux tout de suite donner la base avec 3 vecteurs ?
Merci.
je serais toi j'éliminerais plutôt le 4° (le 3° est assez sympa avec tous ses zéros 
)
vérifie que les 3 qui restent sont indépendants, avant de parler de base ....
C'est bon les 3 sont indépendants donc ils forment une base. Ensuite je dois déterminer une base de F+G et donner une équation de F+G.
Pour déterminer la base de F+G je reprend mes 6 vecteurs précédents et je regarde s'ils sont indépendants ?
Bonjour
Les 6 vecteurs que tu as ne sont certainement indépendants dans R5! Commence par déterminer F
G
Oui je veux bien mais le problème c'est que c'est la question d'après... Auriez vous une autre idée svp ? Bonne soirée.
Bonjour, Joffrey 25
Les 5 premiers vecteurs sont indépendants et on est dans R^5.
Donc: F+G=R^5
Puisque , on en déduit que
est de dimension 1.
Bonjour perroquet,
Oui je suis d'accord mais je dois déterminer une base de F+G comment peut on savoir que les 5 premiers vecteurs sont indépendants ? Une résolution de système suffit ?
Merci.
Oui, une résolution de système suffit.
Mais c'est long à faire ...
Autres possibilités: calcul de déterminant ou calcul du rang avec la méthode du pivot de Gauss: c'est long aussi.
Ok merci. Vous pouvez m'expliquer comment on calcule le déterminant svp ? Juste pour le plaisir de savoir...
Lafol après calcul il y a un souci. Le premier - le dernier n'est pas égal à 3 fois le troisième. Une idée svp ?
Oui c'est bien ca merci.
a(1,1,3,-1,-1)+b(2,-1,-4,4,-1)+c(0,1,2,0,1)+d(1,-2,-3,-1,-2)+e(1,0,1,-1,0)+ f(2,1,2,1,1)+g(3,1,2,0,1)=0
Et pour déterminer F+G, j'ai fait :
a+2b+d+e+2f+3g=0 L1
a-b+c-2d+f+g=0 L2
3a-4b+2c-3d+e+2f+2g=0 L3
-a+4b-d-e+f=0 L4
-a-b+c-2d+f+g=0 L5
Ca nous donne :
L2-L5 : 2a=0 donc a =0
Mais après je ne sais pas comment m'en sortir... Merci.
Ce n'est pas la peine de considérer les 7 vecteurs. Montre que les 5 premiers sont indépendants, comme on est dans R^5, cela montrera que
F+G=R^5
Donc, on enlève f et g. Tu as déjà obtenu que a=0.
Il reste donc
2b+d+e=0 L1
-b+c-2d=0 L2
-4b+2c-3d+e=0 L3
4b-d-e=0 L4
a=0 L5
Additionne L1 et L4, on obtient 6b=0 donc b=0
On n'est plus très loin maintenant
(si je n'ai pas fait d'erreur, parce que ton exercice est horrible)
Ok merci.
2b+d+e=0 L1
-b+c-2d=0 L2
-4b+2c-3d+e=0 L3
4b-d-e=0 L4
a=0 L5
Soit L1+L4 : 6b=0
Donc :
a=0 et b=0
d+e=0 L1
c-2d=0 L2
2c-3d+e=0 L3
-d-e=0 L4
Soit L3-L2 :
c+d+e=0
(L3-l2)+L4 donne c=0
Donc ca en découle que d=0 et e aussi.
Merci et donc ces 3 vecteurs forment une base de F+G c'est juste ?
Et quand il faut doner une equation de F+G je dois faire de meme mais en remplacant les 0 par (w,x,y,z) ?
Merci.
Les 5 vecteurs forment une base de F+G.
Donc, F+G=R^5.
F+G est tout l'espace.
Donc, on ne peut pas donner une équation de F+G.
Pourtant dans mon énoncé c'est marqué déterminer une base de F+G et donner une équation de F+G... 
Merci pour votre aide. En plus ca m'inquiètes car c'est noté...
Une autre idée svp ?
Rappel de l'énoncé :
Soit F le sev de R^5 engendré par les vecteurs (1,0,1,-1,0), (2,1,2,1,1) et (3,1,2,0,1). Et je dois trouver une base de F. Je sais qu'une base correspond à toute partie génératrice et libre de cet espace vectoriel. Les 3 vecteurs sont indépendants donc ils forment une base. Ca c'est bon.
Soit G le sev de R^5 engendré par le vecteurs (1,1,3,-1,-1),(2,-1,-4,4,-1), (0,1,2,0,1) et (1,-2,-3,-1,-2).C'est bon les 3 premiers vecteurs sont indépendants donc ils forment une base.
Ensuite je dois déterminer une base de F+G et donner une équation de F+G.
J'ai essayé de trouver des vecteurs indépendants mais rien n'y fait je n'en trouve pas...
Merci.
Euh dans le deuxième ce sont les 4 vecteurs qui sont indépendants en fait.
Enoncé correct :
Soit F le sev de R^5 engendré par les vecteurs (1,0,1,-1,0), (2,1,2,1,1) et (3,1,2,0,1). Et je dois trouver une base de F. Je sais qu'une base correspond à toute partie génératrice et libre de cet espace vectoriel. Les 3 vecteurs sont indépendants donc ils forment une base. Ca c'est bon.
Soit G le sev de R^5 engendré par le vecteurs (1,1,3,-1,-1),(2,-1,-4,4,-1), (0,1,2,0,1) et (1,-2,-3,-1,-2).C'est bon les 4 vecteurs sont indépendants donc ils forment une base.
Ensuite je dois déterminer une base de F+G et donner une équation de F+G.
Je continue à dire qu'il faut déterminer FG. Ou bien F est contenu dans G et alors F+G=G, ou bien F n'est pas contenu dans G et alors n'importe quel vecteur de F qui n'est pas dans G, joint à la base de G forme une base de F+G=R5.
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