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Algèbre : exercice d'existence

Posté par
gui_tou 17-04-08 à 15:37

Bonjour à tous

Citation :
Soit 3$\rm f un endomorphisme de 3$\rm E tel que 3$\rm f^3=Id_E

1. Montrer que : 3$\rm\fbox{ Im(f-Id_E)\subset Ker(Id_E+f+f^2)  << Ok !

2. Etablir que : 3$\rm\fbox{ Im(f-Id_E)\cap Ker(f-Id_E)=\{0_E\}  << Ok !

3. Montrer que : 3$\rm\fbox{ E=Im(f-Id_E)\bigoplus Ker(f-Id_E)


Pour la question 3., il ne reste plus qu'à montrer que 3$\rm E = Im(f-Id_E) + Ker(f-Id_E)

Analyse

Soit 3$x\in \rm{E. Montrons que : 3$\|\exists x_1\in\rm{ Im(f-Id_E)}\\\exists x_2\in \rm{ Ker(f-Id_E)} tq 3$x=x_1+x_2

3$x_1\in\rm{ Im(f-Id_E) donc 3$\exists t\in \rm{E},\,/\,x_1=f(t)-t

3$x_2\in\rm{ Ker(f-Id_E) donc 3$f(x_2)-x_2=0 ie 3$f(x_2)=x_2   (remarque : 3$\forall p\in\mathbb{N},\,f^p(x_2)=x_2)

Je cherche donc une autre équation reliant 3$x_1 et 3$x_2. Je tente de me servir de l'hypothèse.

3$f(x)=f(x_1)+f(x_2) \\ f(x)=f^2(t)-f(t)+x_2 \\ f^2(x)=t-f^2(t)+x_2 \\ f^3(x)=x=f(t)-t+x_2=x_1+x_2

Auriez-vous des pistes pour trouver cette autre équation ?

Bonne journée

Posté par
gui_toure : Algèbre : exercice d'existence 17-04-08 à 15:40

Le mot Analyse vient trop tôt.

Je compte raisonner par analyse/synthèse ; dans cette partie je suppose donc que x1 et x2 existent.

Posté par
tealcre : Algèbre : exercice d'existence 17-04-08 à 15:42

'lu gui_tou

d'après 1 t'as (Id+f+f^2)(x) = 0 + (Id+f+f^2)(x_2)

or comme tu l'as écrit (Id+f+f^2)(x_2) = 3x_2 et donc t'as x_2. Tu poses x_1=x-x_2 et tu vérifies qu'il vérifie bien les hypothèses ... non ?

Posté par
gui_toure : Algèbre : exercice d'existence 17-04-08 à 15:45

Suffisait de lever la tête vers les 2 premières questions..

Merci tealc

Posté par
tealcre : Algèbre : exercice d'existence 17-04-08 à 15:46

je t'en prie gui_tou ^^

Posté par
gui_toure : Algèbre : exercice d'existence 17-04-08 à 16:03

ra il a fallu réfléchir pour montrer que x1 € Im(f-Id)

J'ai x1 = f(t) - t avec t = -1/3 f(x) - 2x/3

Posté par
gui_toure : Algèbre : exercice d'existence 17-04-08 à 16:45

Je me rends compte que j'ai pas la 2.

Posté par
gui_toure : Algèbre : exercice d'existence 17-04-08 à 16:48

Ah ba si ^^

x dans Im(f-Id) donc x+f(x)+f²(x)=0
et
x dans Ker(f-Id) donc f(x)=x

d'où 2x+f²(x)=0  soit  2f(x)+x=0  soit 2x+x=0  donc x=0

Ouf j'ai eu peur ^^

Posté par
tealcre : Algèbre : exercice d'existence 17-04-08 à 16:50

lol ça aurait été bête :p


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