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Exercices Algèbre
Bonjour,
j'ai rencontré des difficultés pour ces questions (tiré d'un médian de mon université.)
-----Exercice 1 :
R4 défini sur R
u = ( 1; -1; 2; 2)
v = ( 0; 0; 2; 2 )
w = ( 1, -3, 4, 0)
w' = ( 0,5; 1; 2 -1)
4- Ecrire les conditions d'appartenance d'un vecteur de R4 au sous espace vectoriel G = { (x,y,z,t) 
à R4 \ 2x + 2y - z + t = 0}, au sous espace vectoriel F = {u, v, w} engendré par cette famille, puis au sous espace (G
F). En déduire que dim(GF)=2 à l'aide de la question 3 (question 3 : Mq {u, v, w, w'} est libre.
Réponse: Un vectuer de R4 appatient à G si il est solution de l'équation 2x+ 2y - z + t = 0. Un vecteur de R4 appartient à F ssi il est le résultat d'une combinaison linéaire des vecteurs de F. un vecteur appartient à (GF)si il répond simultanément aux 2 propositions précedentes, ce qui confirme qie dim((GF)= 2 (vecteurs u et v communs)
5 - On sait que dim(G+F)= dim(F) + dim(G) - dim(GF). En déduire quel est le sev F + G.
Réponse : dim(F) + dim(G) - dim(GF) = 3 + 3 - 2 = 4. (F+G) est donc le sev comportant les vecteurs {u, v, w, w'} car cette famille est libre.
6 - Donner un supplémentaire de F dans R4. Donne un suppléménetaire de G dans R4.
Réponse : alors là... besoin d'aide.
-----Exercice 2 :
Soit E l'espace vectoriel des polynômes à coefficients complexes de degrès inférieur ou égale à 2. (on note i l'imaginaire tel que i2= -1) On pourra noter tout éléments de E sous la forme : (a2+ib2)X2 + (a1+ib1)X + a0+iB0 où a0,a1,a2,b0,b1,b2 sont des réels.
1 - E est défini comme un espace vectoriel sur C.
(a) Donner une base de E et sa dimension.
Réponse : base de E : { 1; X; X2 ) et dimE=3
(b) Donner une base du sous espace vectoriel F défini par l'ensemble des polynômes de E qui ont 
pour racine ( C)
Réponse : base de F : on peut écrire P = ( - X)( aX + b ) avec a = a1 + ia2 et b = b1 + i b2
Donc une base de F : { ( - X)(b1+ib2) ; ( - X)(a1+ia2)X }
2 - E est défini maintenant comme espace vectoriel sur R.
(a) Donner uune base de E est sa dimension.
Réponse : base de E { 1, X , X2 } et dimE = 3
(b) donner dans cette base les coordonnées du polinôme : (1 + i)Xsup]2[/sup] + 3X + 4i.
Réponse : P = ( i ; 3 ; (1+i) ) dans cette base.
Merci d'avance 
Bonjour.
Exercice 1
4°) La condition X € F s'écrit (x,y,z,t) = a.u + b.v + c.w. (I)
Comme (u,v,w) est libre, dim(F) = 3, donc F a une équation du type : kx + ly + mz + nt = 0
En éliminant a,b,c dans (I), je trouve F : x + y + z - t = 0
Donc, l'intersection de F et de G est caractérisée par le système :
Le système est de rang celui de la matrice :
1 1 1 -1
2 1 -1 1
Donc de rang 2
L'intersection de ces deux hyperplans indépendants est un sous-espace de dimension 4 - 2 = 2.
5°) Dim(F+G) = 3 + 3 - 2 = 4.
Conséquence, R4 = F + G.
Comme F 
G n'est pas réduit à {0} F et G ne sont pas supplémentaires.
Cherchons un supplémentaire de G.
2x + 2y - z + t = 0 est de dimension 3, un supplémentaire sera une droite vectorielle. Il suffit de choisir un vecteur non situé dans F. Par exemple la droite engendrée par (1,1,1,1)
Cherchons un supplémentaire de F.
Même chose : ce sera une droite vectorielle non incluse dans F, donc, tout vecteur ne vérifiant pas x + y + z - t = 0.
En prenant par exemple la droite engendrée par (1,1,1,1).
Exercice 2
1°).
a). On a effectivement BE = (1 , X , X²) car c'est une famille génératrice et libre (peut-être à prouver).
b). On sait que l'application f : P 
P() est une forme linéaire sur E, donc l'ensemble des P tels que P() = 0 est le sev Ker(f), hyperplan de E. Donc, dim(F) = 2.
Alors, une base toute simple est : BF = (X- , (X-)²).
2°). Si l'on veut étudier E en tant que R-espace vectoriel, ce n'est plus du tout la même chose. D'ailleurs, il vaut mieux ne plus le nommer E, mais E'.
En effet, dans ce cas, les coefficients des combinaisons linéaires sont des réels.
Donc, il faut écrire :
Une famille génératrice de E' est donc : (1 , i , X , iX , X² , iX²)
On démontre qu'elle est libre en étudiant l'équation : a.1 + b.i + c.X + d.iX + e.X² + f.iX² = O (polynôme nul).
Donc, pour tout X dans R, a + ib + (c + id)X + (e + if)X² = 0
¤ si X = 0, a + ib = 0 => a = b = 0
¤ Si X = 1, c + id + e + if = 0 => c + e = 0 et d + f = 0
¤ Si X = -1, e - c + i(f - d) = 0 => e = c et f = d.
finalement a = b = c = d = e = f = 0.
Une base de E' sera donc : BE' = (1 , i , X , iX , X² , iX²).
Bonjour ! J'ai refait les exos et merci pour l'aide !!!
Par contre j'ai une question, ce sera pas ça par hasard pour l'exo 1 question 6 :
Réponse : Cherchons un supplémentaire de G.
2x + 2y - z + t = 0 est de dimension 3, un supplémentaire sera une droite vectorielle. Il suffit de choisir un vecteur non situé dans G (au lieu de F). Par exemple la droite engendrée par (1,1,1,1)
Si c'est pas ça, je veux bien des explications 
Merci.
Bonjour.
Bien sûr, tu as raison. Il s'agit d'une erreur de frappe de ma part.
Désolé et merci de me l'avoir signalée.
Exercice 3 :
Soit E = R3[X] le R-espace vectoriel des polynômes de degrè inférieur ou égal à 3, à coefficients réels.
(1) Donner une base de E. Que vaut dim(E) ?
Réponse : Une base de E (ce sont des polynômes) Be= {1,X,X2,X3[sup]} et dimE= 4
(2) Si a R, et P un polynôme de E. On pose :
a: E
R
P P(a)
Montrer que a est une application linéaire.
Réponse : Il est clair que c'est une application linéaire car on est dans R3[X] (ensemble des polynômes)
(3) Soient a0, a1, a2, a3 des réels distincts et P un polynôme de E. On pose :
: E R[sup]4
P ( a0(P),a1(P),a2(P),a3(P) )
Montrer que est une application linéaire, déterminer son noyau et donner sa matrice dans la base choisie à la question (1).
Réponse : HELP
Exercice 4 :
Soient A et v les matrices à coefficients réels définies par :
1 0 a -a
A = 0 1 b , v = -b
0 0 0 1
où a et b sont non nuls. Soient {e1, e2, e3) la base canonique de R3, et f l'application linéaire associées à A dans cette base.
(1) Montrer que {e1, e2} forme une base de Im(f) et que v forme une base de ker(f).
(2) Montrer que Ker(f) et Im(f) sont supplémentaires.
Réponse : dimKer(f)= 1 et dimIm(f)= 2 , 1+2=3=R3 donc ils sont supplémentaires.
(3) Calculer A2. Que peut-on dire de f à partir de ce résultat et de la question précédente ?
Réponse : A2= A donc c'est la focntion identité.
(4) Calculer la matrice de f dans la base de R3 formée par la réunion des bases de Ker(f) et Im(f).
Réponses : ???
Merci !
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