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polynome minimal et diago
Bonjour
j'ai une question à laquelle je n'arrive pas a répondre,
dans un livre, j'ai lu la chose suivante
on a un endomorphisme dont le polynome caractéristique est (X+1)²(X-3)
et on constate que (X+1)(X-3) n'est pas son polynome minimal, donc son polynome minimal est
(X+1)²(X+3) et on en déduit " que l'endomorphisme n'est pas diagonalisable, car si il l'était on aurait que (X+1)(X-3) pour polynome minimal "
je comprend pas pourquoi on peut affirmer ça
pourriez vous m'éclairez??
merci
Bonjour 
Je ne vais pas répondre directement à ta question, tu me diras si ça te va comme explication ...
Supposons que l'on a :
PC(X) = -(X+1)²(X-3) comme polynôme caractéristique.
2 cas de figures :
1er cas : A est diagonalisable. Alors on sait que son polynôme minimal est scindé à racine simple, ainsi on en déduit que :
PM(X) = (X+1)(X-3)
2nd cas : A n'est pas diagonalisable. Donc comme on sait que PC(A) = 0 (Cayley Hamilton), on sait que PM|PC et donc on a :
PM(X) = (X+1)(X-3) ou PM(X) = (X+1)²(X-3)
Or PM ne peut pas être scindé à racine simple puisque A n'est pas diagonalisable. Donc :
PM(X) = (X+1)²(X-3)
ok ?
( sauf erreurs bien entendu 
)
ok!!
merci beaucoup, j'ai compris
mais vous etes qui pour donner des réponses aussi précises et etre autant sympatique?
Bonjour,
une matrice est diagonalisable si et seulement si son polynôme minimal est scindé et à racines simples.
Ici -1 est racine double donc ça répond à ta question.
Bonjour otto
edinson >
mais vous etes qui pour donner des réponses aussi précises et etre autant sympatique?
Merci beaucoup pour le compliment.
Pour répondre à ta question, je suis juste un étudiant de math spé comme les autres. Ce qui m'attire sur le forum, c'est justement les messages de remerciement lorsque l'on a réussi à faire comprendre quelque chose à quelqu'un.
Voila. Bonne soirée
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