Forum : algèbre :
matrice transposée

Bonsoir , on dit qu'une matrice transposée est une application bijective ( comme ln et e ) , mais c'est quoi le rapport géométrique entre les 2 matrices ? J'ai fait quelques calculs au hasard :

2 1
4 3

multipliée par (2,3) , ça donne le vecteur (5,17) , et quand je fais la meme multiplication avec la transposée j'obtiens le vecteur (16,10) , bref je vois aucun lien , quelqu'un saurait tisser des liens ?

merci

Je ne comprend pas ...

La transposition est bijective, c'est à dire que toute matrice est la transposée d'une unique matrice.

ben par exemple si je prends e^ln x j'obtiens x , suppose que x est un vecteur , peut on faire une opération similaire avec 2 matrices dont l'une la transposée de l'autre...

si tu as une matrice et que tu veux savoir de qui elle est la transposée tu as juste à la transposer une seconde fois, tu retombes alors sur la matrice de départ.

quel rapport avec ma question ?

Bein ta question n'a pas de sens alors j'essaie d'interpreter ...

j'ai un vecteur x , en appliquant une opération sur lui avec une matrice et sa transposée puis je retomber sur x , un peu comme le ln et le e ?

Ok.
Non il n'y a pas de raison dans le cas général, il suffit de prendre une matrice non inversible A.
il est impossible de retrouver x à partir de Ax.

alors j'ai rien compris au sens de bijectif , ça veut dire quoi finalement bijectif ?

PS : une matrice non inversible peut avoir une transposée , quel est le rapport ?

Aucun rapport entre matrice inversible et transposée.

f est bijective de E dans F ssi tout élément y de F est un certain f(x) pour x dans E et x est unique.

ok merci otto pour ces précisions , mais alors d'après ta def , peux tu donner un exemple avec 2 matrices transposées s'il te plait ?

Tu veux quoi?
Une matrice dont l'inverse serait sa transposée ?

Si oui c'est ce que l'on appelle une matrice unitaire.
Sinon je ne vois pas bien ce que tu veux puisqu'il n'y a aucun lien entre transposée et inverse.

tu écris :
f est bijective de E dans F ssi tout élément y de F est un certain f(x) pour x dans E et x est unique.

E et F ce sont les matrices n'est ce pas ?

personne n'a une explication ici ?

Non E et F sont les espaces de départ et d'arrivée sinon je ne vois pas bien comment ça pourrait avoir du sens.

et bien moi je vois aucun rapport entre 2 matrices transposée et cette affirmation :

f est bijective de E dans F si tout élément y de F est un certain f(x) pour x dans E et x est unique.

si tu en vois un je serai très curieuse de savoir lequel c'est...puisque aucune matrice ne correspond à rien...

Bonjour, severinette et otto

On considère l'application f de M_n(R) dans M_n(R) définie par:  
Cette application est bijective et son application réciproque est elle-même:  

et bien moi je vois aucun rapport entre 2 matrices transposée et cette affirmation :

f est bijective de E dans F si tout élément y de F est un certain f(x) pour x dans E et x est unique.

Je t'ai dit qu'il n'y avait aucun rapport entre transposition bijectivité et inverse...

Ensuite la phrase que tu cites est la définition d'une bijection (cf cours) et tu m'avais demandé de te rappeler ce qu'est une bijection.

Si tu ne vois aucun rapport avec la transposition c'est normal, comme je te l'ai dit il y'en a aucun.

Bonjour perroquet,
j'avais déjà donné cette propriété mais visiblement ce n'est pas ce qui est attendu...

ok merci otto et les autres .

Je peux me tromper, mais à te lire severinette, je pense que tu fais des confusions.

Tu parles d'appliquer une matrice à un vecteur x, mais une matrice n'est pas une  application. Sur ce point, je rejoins otto, ta question n'avait pas vraiment de sens.

une matrice n'est pas une application ? ben alors là on reve , combien d'applications linéaires sont caractérisées par des matrices ?

salut sev

il faut faire attention aux différentes catégories d'objets que tu manipules
les matrices représentent des applications sur des vecteurs
mais les matrices sont elles-mêmes des vecteurs sur lesquelles tu peut faire des applications et ainsi de suite
ainsi la transposition est une application lnéaire sur les matrices (et aussi les vecteurs puisque un vecteur est aussi une matrice)...

"les matrices représentent des applications sur des vecteurs"

donc j'avais raison carpediem , une matrice est une application

de même que tout vecteur est une aplication...

Rigoureusement une matrice n'est pas une application, elle représente une application.

Sauf erreur.

tout à fait d'accord
mais comme il existe un isomorphisme canonique associant toute application linéaire à une matrice (relativement à une base donnée) on confond effectivement les deux (par abus de langage et pour se simplifier la vie lorsqu'on sait de quoi l'on parle)
de même que tout nombre est une fonction (modulo l'isomorphisme qui associe à toute fonction constante cette constante)

De plus, ici, on parlait de transposition de matrice, et non de transposition quelconque, n'est-ce pas ? (à moins d'avoir mal compris)

Donc d'une application avec (muni des lois adéquates) un corps, donc les matrices étaient bien les objets transformés par l'application.

Bonjour,

rigoureusement, une matrice est une application d'un produit {1,...,n}x{1,...,p} dans un corps K. (Qui à un couple (i,j) associe le coefficient a_i,j)

rigoureusement bonjour