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polynome caractéristique
Bonsoir , j'ai l'exercice suivant : Soit E un R-espace vectoriel de dimension 3 . Soit B = (e1,e2,e3) une base de E . Soit f l'endomorphisme de E dont la matrice dans la base B est :
1 -1 -1
-1 1 -1
-1 -1 1
a) déterminer le polynome caractéristique de f et montrer que les valeurs propres de f sont -1 et 2 .
P = det(A - XIn) = -x³ + 3x² - 4 .
-1 et 2 sont racines du polynome donc ce sont les valeurs propres , vu que f(v) - 
v = 0 , avec valeurs propres .
b)Déterminer le sous espace associé à chaque valeur propre .
Pour -1 , je résous le système suivant :
-x + 2y - z = 0
-x - y + 2z = 0
2x - y - z = 0
Ce qui nous fait x = -z , y = z , le sous espace propre est donc l'espace engendré par le vecteur (-1,1,1) .
Pour -2 c'est assez rigolo , en fait je dois juste résoudre le système :
-x-y-z = 0
je fixe y = b , z = c , donc x = -b-c , ce qui fait que tout vecteur (x,y,z) s'écrit b(-1,1,0) + c(-1,0,1) , ce sous espace propre est engendré par ces 2 vecteurs .
Que pensez vous de ces 2 1eres résultats ?
merci bien .
Rebonjour.
Je trouve que les valeurs propres sont -1 et 2.
E(-1) = Vec[(1,1,1)]
E(2) est le plan x + y + z = 0.
Donc, par exemple : E(2) = Vec[(1,-1,0), (1,0,-1)]
Ce qui nous fait x = -z , y = z
non, c'est x=y=z., engendré par (1;1;1).
Pour -2 c'est assez rigolo ,
->Non, ça veut juste dire que l'espace propre est de dimension 2 (un plan quoi!).
Ok avec le reste.
La somme des dimensions des espaces étant 3 ,comme l'espace, la matrice est diagonalisable.
oui c'est -1 et 2 faute de frappe excuse moi , et encore faute de frappe 
j'ai bien également (1,1,1) pour valeur 1 .
Par contre raymond c'est curieux car toi tu écris x+y+z = 0 , mais c'est -x-y-z = 0 , si tu fais A - 2In c'est celà , tes vecteurs sont l'opposé des miens , pourtant je n'ai pas l'impression de m'etre trompée , si ?
Ces vecteurs sont opposés, donc engendrent le même espace.
Vous avez juste fait des choix différents de bases, severinette.
parfait tig tu me rassures , il me reste une dernière question :
c)Montrer que f est diagonalisable et déterminer une base B' dans laquel f est diagonale .
Je calcule l'ordre de multiplicité des racines :
P'(-1) différent de 0 , donc son ordre de multiplicité vaut 0 ou 1 , P'(2) vaut 0 , son ordre est 1 ou 2 .
désolé raymond je ne savais pas inutile de s'énerver , donc le polynome est scindé , il se décompose comme ceci :
(x+1)(x-2)² , et c'est bizarre car ça donne le polynome opposé au polynome de départ et les racines marchent tjs...
La dimension du sep associé à la valeur 1 est 1 , celle à la valeur 2 est 2 .
Donc la matrice est diagonalisable , ça suffit comme justification ?
Désolé, je sais que l'humour ne passe pas sur le web. Je ne suis pas énervé du tout.
Tu as deux manières de calculer le polynôme caractéristique : P(X) = det(X.I - A) ou Q(X) = det(A - X.I).
Si on est en dimension n, on a Q(X) = (-1)n.P(X)
Donc, la différence réside seulement par un changement de signe en dimension impaire.
Naturellement, ces deux polynômes ont les mêmes racines au même ordre de multiplicité.
Personnellement je préfère P(X) = det(XI - A) car il commence par Xn.
ok raymond pas de soucis , nos messages se sont croisés , j'ai une question :
comment déterminer maintenant une base B' dans laquelle la matrice est diagonale ?
Le polynôme n'est pas opposé, tu as juste oublié de le multiplier par (-1).
De toute façon, les deux définitions det(XI-M) et det(M-XI) coexistent, et donnent (pour n impair en tout cas) des polynômes opposés, mais de mêmes racines évidemment.
La dimension du sep associé à la valeur 1 est 1 , celle à la valeur 2 est 2 .
Donc la matrice est diagonalisable , ça suffit comme justification ?
->OUi puisque, comme je te l'écrivais,
La somme des dimensions des espaces étant 3 ,comme l'espace, la matrice est diagonalisable
ok , merci raymond , j'ai 2 questions théorique :
1) les vecteurs propres de E forment tjs une base dans laquelle f est diagonale ?
2) pourquoi on s'embete avec des réductions d'endomorphismes pour savoir si une matrice est diagonalisable alors qu'il suffit d'appliquer gauss , c'est bcp plus simple et rapide...
Le problème est que lorsque la dimensin d'un sev propre est strictement inférieure à la multiplicité de la valeur propre, tu n'as plus assez de vecteurs propres indépendants pour faire une base.
Ta matrice n'est alors pas diagonalisable.
Exemple A =
De rien
Pour ta deuxième question, tu confonds:
Gauss, c'est pour voir si la matrice est inversible.
Le Polynôme caractéristique, c'est pour voir si la matrice est diagonalisable (ou trigonalisable, mais tu ne connais pas encore).
Il y a des matrices diagonalisables non inversibles et des matrices inversibles non diagonalisables, les notions sont absolument indépendantes!
Toutefois, on a la caractérisation (évidente) suivante:
Une matrice est inversible ssi 0 n'en est pas une valeur propre
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