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des matrices
Bonsoir , j'ai l'exercice suivant avec 3 questions , j'attaque les 2 1eres :
Soit n un entier strictement positif. Soit E le R-espace vectoriel des matrices
carrées d'ordre n à coefficients dans R. On notera I la matrice identité. Etant donné une matrice M, on définit l'application RM :
RM : E ---> E
A ---> M .
1)Montrer que RM est linéaire .
Soient A et A' 
à E . RM(A+A') = (A+A')M = AM + A'M .
Soit 
R et A E .
RM(A) = AM .
Celà découle directement du fait que l'espace vectoriel des matrices forme un groupe commutatif , donc l'addition est distributive par rapport à la multiplication . ( là j'ai essayé de me la péter en répondant un truc avec des mots techniques mais je suis pas certaine d'avoir bon 
) .
2)Dans cette question on suppose que n = 2 et que M =
1 2
1 1
On munit E de la base B(e1,e2,e3,e4) , les 4 matrices canoniques d'ordre 2 . Donner la matrice RM dans la base B .
Alors là j'ai pas trop saisi , je répondrai :
A 2A
A A
Quelqu'un a t'il une idée ?
merci
night si je fais ça je vais avoir 4 matrices ça fait bcp , j'en souhaite qu'une ...je devrais les additionner ?
ben on multiplie les composantes de la base par la matrice de l'application , c'est ce que j'ai fait...j'ai juste additionné les 4 matrices
"ben on multiplie les composantes de la base par la matrice de l'application" pardon? 
Pour calculer la matrice d'une application linéaire dans une base B, on calcul l'image des éléments de B par cette application linéaire qu'on exprime dans cette même base B. Où vois-tu de l'addition là dedans? 
j'ai fait ce que tu as dit j'ai 4 matrices :
1 2
0 0
1 1
0 0
0 0
1 2
0 0
1 1
je fais quoi avec cela , il me faut une seule matrice...
oui mais ça c'est de la bidouille car toi t'es fort , mais les faibles comme moi peuvent pas bidouiller , d'habitude c'est pas comme ça , ya pas un système à résoudre d'equations ?
Non il n'y a pas de bidouille ni quoi que ce soit, c'est comme ça que l'on fait et que l'on a toujours fait.
Je le répète : On calcule l'image des vecteurs de base et on trouve les coordonnées de ces images dans cette base.
Là en l'occurrence les coordonnées sont (1,2,0,0) pour le premier vecteur de base. Il n'y a pas de magie.
j'ai fait 1000 fois des trucs similaires ( mais jamais avec matrices ) et c'est la 1ere fois de ma vie que je vois cela , donc avec ta méthode j'ai quand meme calculé la matrice , qui est finalement :
1 1 0 0
2 1 0 0
0 0 1 1
0 0 2 1
dernière question composée de 3 sous questions :
On revient maintenant au cas général : n n'est plus fixé et M est une matrice
carrée d'ordre n quelconque.
a) Montrer que RM est bijective si et seulement si M est inversible.
Une application est bijective si elle est injective et surjective en meme temps . Si M est inversible , le déterminant est non nul , donc le noyau est nul . Puis pour la surjectivité je vois pas comment prouver que tout élément d'arrivée a au moins un élément dans l'ensemble de départ . Deja cet exercice est très mal présenté car on ne sait meme pas ce que c'est A dans cette application 
. M'enfin comme le déterminant est non nul chaque matrice d'arrivée a une matrice dans l'espace de départ ? Donc RM bijective ?
Au passage c'est bizarre car on par d'une matrice de dimension 4 pour arriver à 16 donc c'est pas du tout une application de E dans E comme ils disent au départ...
A c'est une matrice quelconque.
RM est l'application qui à une matrice A associe AM, où M est fixé.
On veut montrer que M est inversible ssi RM est bijective.
Supposons M inversible.
Montrons que le noyau de RM est réduit à {0}.
Soit X dans Mn(R) telle que XM=0, alors
ie .
RM est bien bijective.
essaye de faire le sens indirect.
Je pense que ce qui te bloque c'est que RM est une application qui à une matrice associe une matrice.
La matrice de RM n'a aucun rapport avec les matrices auxquelles on applique RM !
Il est normal que la matrice de RM soit d'ordre 4 puisqu'une base de E est formé de 4 élément!
faudrait déjà que je comprenne ta démonstration ce qui est loin d'etre le cas , pour moi là tu as montré une injectivité mais je vois pas de rapport avec la bijection...
Ton application est un endomorphisme.
Or en dimension finie, un endomorphisme injectif est bijectif (l'injectivité implique la surjectivité et vice versa)
j'aurais bien aimé avoir un cours sur ton affirmation très intéressante mais j'ai plus le temps ...
b)Notons idE l'application identité de E. On a donc
∀A ∈ E, idE(A) = A.
Montrer que RM − idE = RM−I .
Là encore je galère à fond , le résultat à la rigueur ne m'intéresse pas c'est surtout la manière de raisonner que je veux comprendre , RM vaut quoi , AM ?
je fais AM - idE ?
absolument night j'ai bien regardé sur l'annale et c'est bien cela...je savais que cet exo etait tordu
Je ne comprends pas... Confond-t-on RM avec sa matrice dans la base B?
Quelqu'un a-t-il une idée de décryptage d'énoncé?
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