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Corps de fractions
Salut 
Soit M un anneau commutatif et intègre.
Quand a-t-on Frac(M)=0 ?
Merci
1, jamais! Il y a injection de M dans son corps de fractions par a
a/1En fait, ici, on peut montrer que si avec
, alors tous les éléments non nuls de Frac(M) sont iversibles.
1=0 et ceci entraine M={0}.Re Camélia
COmment montre-t-on que l'idéal engendré par X et Y dans k[X,Y] avec k corps commutatif ne peut être engendré par un seul élément ?
Je n'ai jamais manipulé des polynômes à double variable dans les anneaux.
Je commencerai ainsi : on suppose que il existe f(X,Y) dans k|X,Y] tel que (X,Y)=f(X,Y)k[X,Y] mais ensuite ?
Faut-il exhiber un idéal ?
merci
Salut FF,
C'est vrai que quand on est pas habitué, c'est pas forcément naturel. Mais ça vient à force (de force? 
).
On suppose qu'il existe P dans K[X,Y] tel que (P)=(X,Y).
Alors P|X et P|Y. Donc P est une constante car X et Y sont premiers entre eux.
Cela signifierait que (P)=k[X,Y] ce qui est impossible car les polynômes constants non nuls ne sont pas dans (X,Y).
Salut Schumi
Pourquoi (P)=(X,Y) signifie que P|X et P|Y ?
En fait la question que je me pose est comment s'écrit un élément de (X,Y) ?
P|X ben ça veut dire "P divise X". 
Pas très original comme notation.
En fait la question que je me pose est comment s'écrit un élément de (X,Y) ?
Ben c'est l'idéal engendré par X et Y. Ils s'écrivent tous comme des sommes de polynômes de k[X,Y], chaque terme de la somme étant divisible soit par X soit par Y.
Par exemple: X+Y, X²+XY+Y², X^8+97XY^7+6X^9Y^2+4Y+2X sont éléments de (X,Y).
X+1, Y+1, X+XY+Y^2+3 ne sont pas éléments de (X,Y).
Au fait, X et Y premiers entre eux car ceux sont deux variables différentes ?
Euh oui, si tu veux. Enfin, c'est relativement évident et intuitif. Autre manière de voir les choses:
On P un polynôme qui divise à la fois X et Y.
Alors le degré de X dans P est nul (car il divise Y) et celui de Y aussi (car il divise P). Bref, P est constant. Ecris les relations de divisibilité pour t'en convaincre!
Euh, juste pour info si tu débutes en poly à plusieurs indéterminées: Vois k[X,Y] comme k[X] [Y] (l'anneau des polynômes dont les coefficients sont dans k[X]). Ca m'avait vachement bien aidé moi.
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