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rotation vectorielle

Posté par
pioute 12-06-08 à 16:58

bonjour,
j'ai un exercice à faire mais je ne vois pas commment partir...
Soit E un espace vectoriel euclidien orienté de dimension 3, w un vecteur unitaire de E.
Déterminer (,,) 3 pour que f définie par f(x)= x + <w,x>w + wx soit une rotation vectorielle...

IL faut que le déterminant de f soit égal à +1 mais là je ne vois pas comment utiliser cette propriété...
Merci d'avance

Posté par
pioutere : rotation vectorielle 12-06-08 à 17:19

...

Posté par
Nightmarere : rotation vectorielle 12-06-08 à 19:42

Salut

Déjà il faut que f soit orthogonale, ie que 3$\rm ||f(x)||=||x|| pour tout x. Tu devrais trouver :

3$\rm \{{\alpha^{2}+\gamma^{2}=1\\\alpha+\beta\in\{-1,1\}.

Il est loisible de poser 3$\rm \alpha=cos(\theta) et 3$\rm \gamma=sin(\theta)

On a l'existence d'une b.o.n.d 3$\rm B dans laquelle 3$\rm Mat_{B}(f)=\(\alpha+\beta\;\;\;0\;\;\;\;0\;\\\;\;0\;\;cos(\theta)\;-sin(\theta)\\\;\;0\;\;sin(\theta)\;cos(\theta)\)

Et f est donc une rotation ssi 3$\rm \alpha+\beta=1

Conclusion : 3$\rm \{{\alpha^{2}+\gamma^{2}=1\\\alpha+\beta=1


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