Bonjour

En effet, frac(M) est un peu obscur... Je pense que la situation est la suivante: A est un anneau intègre, K son corps des fractions. A partir du A-module M, on peut construire un K-espace vectoriel, probablement le frac(M) dont on parle. Alors bien sur, si A est corps...

Salut ^^

Si A est un corps ... M est un espace vectoriel

Donc c'est par construction que frac(M)=M ?

On dirait... A condition que j'aie bien interprété les données...

Ce n'est quand même pas trivial... Par exemple, M=Z/5Z est un Z module. Que vaut Frac(M)?

ok

Deuxième question

Je viens de montrer qu'un module libre sur un anneau intègre est sans torsion.
Dans le poly ils disent que cela permet d'en déduire que l'application f de M dans frac(M) qui à m associe m/1 est injective.

Je ne vois pas om la proposition intervient

Si m ker(f), alors f(m)=0=m/1=0/1 donc m=1, car A intègre, non ?

merci

Z/5Z est un Z-module.

J'essaie : pour tout m dans Z/5Z, 5.m=0 donc Z/5Z est de torsion, donc frac(Z/5Z)=0

Me trompe-je ?

Oui, c'est bien ça pour les modules de torsion.

Pour MFrac(M)

En général: f(m)=m/1=0 signifie que pour tout n mn/n=0, donc mn=0. Si c'est sans torsion, ceci entraine m=0.

Ah bien vu

Merci !

Tu as encore cinq minutes, on tu prépares le maquillage pour le foot ce soir ?

Lemme :

SOit une base d'un A-module M libre de rang n et

Désignons par le sous-module engendré par les éléments

Alors

Bon pour la preuve on considère l'application : qui à associe

Il faut montrer que \phi est un morphisme de modules.

Pas de problème pour montrer que est un morphisme de sous-groupes, mais je n'arrive pas à voir pourquoi ?

Si je prends et a dans A

alors du morphisme mais après ??

Bon beh ça vaut

Bonjour
il y a du foot, ce soir ?

Lorsque je défini , elle va de M dans ...

C'est M et pas A

Et on voit mal mes alpha.

Donc qui à associe


Bref, je n'arrive pas à montrer que c'est un morphisme


Merci

Embrouille de notations:

où désigne la classe de y dans A/a_kA.

Ok j'y vois plus clair

Donc je prends a dans A et m dans M et je montre que

Mais je prends quoi comme loi . ? Faut-il considérer A comme un A-module sur lui-même ?

Je ne sais pas si tu comprends ma question ...

mince, il manque un a en facteur

Oui, bien sur tu considères A comme A-module, donc c'est évident...

ok

évident pour le calcul ?

Deux minutes, je le fais et je te dis quoi

oui ça marche

merci ^^

euh ?

Oui, bien sur, c'est comme ça qu'on définit la structure de A-module de A/aA.

Bah j'ai juste vu pour que ceci portait le nom de module monogène je crois

Tu peux me donner la définition de cette structure ?

Désolé, je l'ai, laisse tomber ^^

Merci en tout cas !

Un module monogène admet une famille génératrice (en tant que module) formée d'un élément! C'est le cas de A/aA qui est engendré par la classe de 1.

Je vais m'en aller... Pour finir, il te reste à vérifier que est surjective (presque évident et que pas trop dur non plus...