Bonjour à tous,
Mal de crâne sur la monotonie d'une suite.
Voici la chose :
(Un(x))nIN une suite définie par récurrence :
x ]0,/2]
U0(x)=x
Un+1(x)=sin(Un(x))
je souhaite montrer que (Un) est décroissante et qu'elle converge.
J'ai pensé à faire une récurrence en montrant que Un+1 - Un <0
mais dés mon initialisation je bloc.
u1=sin(x)
u0=x
et j'étudie sinx - x
-x<sinx -x<1-x
si quelqu'un pouvais me débloquer.
merci,
@bientôt,
gaby775
salut
sur [0,x] avec 0< x < pi/2
0 <= cos(t) <= 1
on intègre entre t entre [0,x]
0 <= sin(x) -sin(0) <= x -0
..
Merci de ta réponse.
pour l'hérédité je pense avoir trouvé :
je montre que Un+2 - Un+1 <0
or HR : sin(Un(x))<Un(x)
j'utilise la croissance de sin sur ]0,pi/2]
(Un ]0,Pi/2] car :
x élément de ]0,pi/2] => 0<sin(x)≤1≤pi/2 et ceux par récurrence immédiate)
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Un est minoré par 0 (récurrence immédiate) donc (Un) converge vers la borne inférieur de Un.
------------------------------------------------
Un-->0
n->+oo
le D.L. de sin en 0 nous donne
sin(un) = Un - Un^3/6 + o(Un^3)
Je veux trouver b IR tel que Vn = 1/(Un+1(x))^b - 1/(Un(x)^b ait une limite finie non nul.
Donc j'ai remplacé mon DL dans l'expression pour 0 cela ne marche pas. Je vais esayer pour b =1
merci
@bientôt
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