exo sur les matrices orthogonales

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exo sur les matrices orthogonales

Posté le 16-06-08 à 18:15

Posté par mini-loup

Bonjour à tous, j'ai un exo à faire sur les matrices mais je ne sais pas par où commencer, voici l'énoncé:
soit M

Mn(R), montrer que
M est orthogonale et In+M est inversible

Il existe A

Mn(R) antisym. telle que In-A est inversible et M=(In+A)(In-A)^-1
montrer qu'alors la matrice A est unique et commute avec M, et que M est directe.
Si vous pouvez m'aider, merci d'avance.

re : exo sur les matrices orthogonales

Posté le 16-06-08 à 18:41

Posté par Pece

Recherche au brouillon :
$M(I_n-A)=(I_n+A) \\ (I_n+M)A=(M-I_n)$

Au propre :
On pose $A=(I_n+M)^{-1}(M-I_n)$ (possibile car $I_n+M$ est inversible)
etc.

Pistes :
Pour montrer A antisymétrique : calcul de $^{t}A$ qui doit valoir $-A$ .
Pour l'inversabilité de A : peut-être avec $det(I_n-A)=det(I_n+A).det(M)$
Unicité : méthode classique
Commutativité : bah on vérifie je pense
Directe : qu'entends-tu par là ? $M\in SO(n)$ ?

re : exo sur les matrices orthogonales

Posté le 16-06-08 à 19:02

Posté par 1 Schumi 1

Citation :
Directe : qu'entends-tu par là ? ?

det(M)=1 oui.

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