Forum : algèbre :
Nouveau souci de vocabulaire...

Bonjour à tous

Je viens de commencer à lire un article et déjà il y a deux trois trucs qui m'échappent.

Le type déclare que "If is discretely-valued and is a uniformizer of the valuation ring then by Eisenstein's criterion we see that is an irreductible polynomial with degree e for any positive integer e".

Déjà je comprends même pas la définition même de ... alors le rapport avec le critère d'Eisenstein...

Quelqu'un peut-il m'expliquer?

Merci d'avance.

Ayoub.

Salut

J'avais vu ça dans un bouquin de cours, sauf erreur est un générateur de l'idéal principal de K (appelé uniformisante).

Chalut Ayoub.

Alors an uniformizer est un élément qui engendre l'unique idéal maximal de ton Anneau. (qui est "discretely-valued" c'est à dire un Anneau local, donc par définition, n'a qu'un idéal maximal non nul).

Pour le lien avec Eisenstein, je réfléchis ...

Sauf erreur bien sur

Jord et tealc >> Merci, je comprends maintenant.

tealc >> Dans ce cas le lien avec Eisenstein est clair: pi engendre donc aussi un idéal premier. On applique directement Eisenstein.

oui effectivement, faut que je me réveille :p

Euh non, il y a un truc qui cloche: Ici K est un corps... ça n'a aucun sens de parler d'idéal maximal... Il n'a que deux idéaux et ils sont triviaux...

Ah oui non c'est bon, j'ai compris. pi génère l'unique idéal maximal du "valuation ring" qui est bien un Anneau sans pour autant être un corps...

Bonjour,
Je me permet d'insister sur le fait que l'anneau est de valuation discrete....c'est le fait qu'elle soit discrete justement qui entraine l'existence d'une uniformisante (on dit aussi parametre local). Pour un anneau local quelconque il n'y a pas en general d'uniformisante....

Salut Rodrigo

Tu peux détailler un peu stp? Je suis pas sûr de comprendre le pourquoi.

dans un anneau local on garantit l'existance d'un unique idéal maximal non nul; mais absolument pas qu'il est principal (engendré par un élement).

ALors qu'ici, étant à valuation discrète, il est principal ...

Non Rodrigo ?


_{Si c'est pas bon, je file me coucher ;p}

Ben un annea local (noetherien disons pour pas non plus etre trop compliqué) c'est un anneau possédent un unique idéal premier...
Un anneau de valuation discrete (bon y a mille definitions toutes equivalente je prends la plus simple) c'est un anneau local principal.

Y a d'autres facons de le voir....Notamment vis a vis de la valutaion sur le corps K...

Ok d'ac, c'est bon j'ai compris.

Par contre, il y a toujours un truc qui me chiffone. tealc ma dit que "discretely-valued" signifiait que l'anneau était local. Mais K étant un corps le début de la phrase est complètement insensée... les corps ne peuvent pas être des anneaux locaux, c'est pas possible...

(discretely valued = anneau local principal ^^)

Qu'est ce que tu sais sur K ? Que c'est un corps ? :s

Oui, K est un corps par hypothèses.

so effectivement c'est un soucis ...

Voici ledit papier: Ca peut peut être vous aider...

Ben (j'ai pas regardé le dit papier...) Quand on regard un corps calué, quand on parle d'anneau on sous entend toujours l'anneau de valuation bien sur, si la valuation sur la corps K est discrete alors l'anneau de valuation sera un anneau de valuation discrete, c'est a dire principal et local, d'ou la termiologie.

C'est un peu comme on parle d'anneaux d'entiers pour un corps de nombres, quand on dit une unité d'un corps de nombres c'est sous entendu de son anneau d'entiers...

Donc selon toi, lorsqu'il parle de K, en fait il parle de son anneau de valuation? Effectivement, ça expliquerait à peu près tout, même la référence à Eisenstein...

Bon je rappelle quelques définitions histoire de te fixer les idées.

Un corps est dit valué s'il est muni d'une valuation, le corps est dit muni d'une valuation discrète si v(K*) est discret dans R, on normalise souvent cette valuation par v(K*)=Z.

Ceci étant quand on a un corps valué, on regarde son anneau de valuation c'est a dire les elements de K de valuation positive. Si la valuation sur K est discrete alors l'anneau A est appelé anneau de valuation discrete, il est toujours local et principal, en particulier la dimension sur le corps residuel de A, noté disons k, de m/m² est 1 (m est l'unique idéal max de A) et un élément qui génère m/m² est appelé unifmrisante noté t (ou dans le cas des corps de fonction on préfère paramètre local) sa valuation est exactement 1. Tout élément de l'anneau d'ecrit alors t^n.u avec u une unité de l'anneau et n dans N tout élément de K s'ecrit t^n.u avec u une unité de l'anneau (de valuation egale =0 quoi) et n dans Z.

Si de plus le corps K est complet pour la valuation, alors les elemnts de K peuvent s'ecrire comme serie où les a_n sont des representants du corps residuel.

Terminaons par dire que les anneau de val discrete d'un point de vue de la geometrie algébrique correspondent aux espace constitué d'un seul point. Qu'ils sont intégralement clos, et qu'un anenau est de Dedekind ssi tous ses localisés aux idéaux premiers sont des anneau de valuation discrete...

Voila pour les proproiétés de base sur les a.v.d, enfin il faudrait en rajouter certaines vis a vis de la completion...

Merci Rodrigo En fait il n'y a que le début du papier qui est tordu avec des réflexions qui sont censées poser le problème. Enfin je trouve pas ça spécialement réussi comme position du problème!

M'enfin bon, après ça devient très clair et on s'y retrouve assez bien.