Groupe spécial orthogonal projectif ?

Posté par Fractal Fractal

Bonjour

Y a-t-il une notation standard pour le groupe ?
J'aurais tendance à le noter , par analogie avec par exemple , mais je n'ai absolument jamais vu cette notation et une recherche sur Google ne me donne rien.

Merci

Fractal

Posté par kaiser kaiser

Salut Fractal

Je ne pense pas qu'il faille une notation pour cela : en effet, il me semble que si l'on quotiente, on obtient la même chose.
En vérifiant que cela marche, il suffit de considérer la morphisme surjectif qui va de SO( 2) dans lui même, qui à une matrice associe son carré. Comme SO(2) est abélien, cette application est un morphisme de groupe surjectif. Le noyau est exactement constitué des matrice I et -I et donc par le théorème de factorisation, on a que SO(2) est isomorphe à SO(2)/{I,-I}. En fait, on peut voir de manière plus géométrique : S0(2) c'est le cercle unité donc quotienter par {I,-I}, ça revient à identifier des point diamétralement opposé dans le cercle : on obtient alors, en recollant les bouts, un autre cercle.

Kaiser

Posté par Fractal Fractal

Salut kaiser

Oui, je suis d'accord, topologiquement c'est exactement la même chose, mais dans ce cas il n'y aurait aucun intérêt à avoir les notations , ou même puisqu'ils sont homéomorphes.
En fait j'étudie l'action de sur un espace topologique, et quand je restreint l'action au groupe je m'aperçois que le noyau de l'action est exactement , ce qui fait qu'en passant au quotient on a une action fidèle de sur l'espace topologique.
J'aurais donc a priori besoin d'une notation particulière, quitte à préciser à côté que topologiquement c'est la même chose.

Fractal

Posté par kaiser kaiser

En fait, ces ensembles sont la même chose au niveau topologique mais aussi au niveau groupe (car dans le message précédent, on a un isomorphisme de groupe).
Sinon, je ne connais pas de notations pour ce quotient. Sur quel espace topologique travailles-tu ?

Kaiser

Posté par Fractal Fractal



Sur l'espace des réseaux unitaires de , c'est à dire .

Fractal