Niveau Maths sup

Grand classique

Posté par
laurafr13 28-08-08 à 17:02

Bonjour,

Merci pour votre aide précieuse,

Voila un grand classique d'algèbre linéaire de prépa et je n'arrive jamais à le rédiger correctement, j'aimerai donc, si possible, que quelqu'un m'en donne la correction exacte.

Soit f un endomorphisme de E, un K-espace vectoriel de dimension finie. Montrer les équivalences:

Im f²=Imf E= Imf Ker f Ker f = Ker f²

Merci beaucoup,

Laura

Posté par re : Grand classique 28-08-08 à 17:31

Salut Laura

Look : Espaces vectoriels : somme directe et équivalence.

Posté par re : Grand classique 29-08-08 à 00:28

Bonsoir

On note :
$(i) Im f^2= Im f$
$(ii) E = Im f \oplus ker f$
$(iii) ker f^2= ker f$

$(i) \Rightarrow (ii)$

Soit $x \in E$
Alors $f(x) \in Im f=Im f^2$
Donc $\exists y \in E ; f(x) = f(f(y))$ i.e $f(x-f(y))=0$ i.e $x-f(y) \in ker f$
Donc $\exists z \in ker f ; x=f(y)+z$

Conclusion : $E = Im f + ker f$

D'autre part d'apres le théorème du rang on a dim E = dim ker f + dim Im f

Conclusion : $E = Im f \oplus ker f$

$(ii) \Rightarrow (iii)$

On a toujours $ker f \subset ker f^2$
En effet si $x \in ker f$ alors $f(x)=0$ donc $f(f(x))=f(0)=0$ i.e $x \in ker f^2$

Réciproquement soit $x \in ker f^2$
Donc $f(f(x))=0$
Donc $f(x) \in ker f$
Or $f(x) \in Im f$
Donc $f(x) \in ker f \cap Im f = \{0\}$ (d'apres l'hypothèse)
i.e $f(x)=0$ i.e $x \in ker f$

Conclusion : $ker f = ker f^2$

$(iii) \Rightarrow (ii)$

On a toujours $Im f^2 \subset Im f$ (1)
En effet $f(f(x)) \in Im f$

D'autre part d'apres le théorème du rang :
$dim Im f = dim E - dim ker f = dim E -dim ker f^2 = dim Im f^2$

Donc d'apres (1) : $Im f = Im f^2$

Posté par re : Grand classique 29-08-08 à 12:14

Merci infiniment à tous les deux

Posté par re : Grand classique 30-08-08 à 10:55

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