Salut , voici un exercice sur lequel nous sommes restés bloqués.
on nous donne une suite (fn)nde fonctions définies par fn(x)=0 cos(nt)dt/(1 - x cos t)
Dans un premier temps, il faut trouver l'ensemble de définitions D, on a trouvé qu'il comprenait l'intervalle [-1;1] cependant on a un problème pour justifier le fait que D= ce qui nous paraitrait normal vu la suite de l'exercice avec l'introduction des polynômes.
Puis on ns demande d'établir : k*,(a0,k,a1,k,...,ak,k)k+1 tel que t, coskt=(p=0 à k)ap,k cos(pt)
On a commencé par linéariser cosk t avec les exponentielles puis on a utilisé le binôme de Newton mais nous sommes bloqués à ce stade : 1/2k(p=0 à k)(p parmi k)exp(ipt) et nous ne trouvons pas l'astuce pour retomber sur cos(pt)
Merci d'avance de votre aide
D'accord merci beaucoup,on s'était trompé en recopiant l'intervalle.ça nous évitera de nous entêter pour prouver que D=.
Et pour les polynômes qu'en pensez vous ?
Bonsoir
Pour , on note
On raisonne par récurrence sur
pour k=1 :
en posant et ,on obtient l'égalité recherchée
Supposon l'assertion vraie au rang k
Alors
Or
Donc
En posant :
La récurrence est alors établie ...
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