Salut

1. Il suffit de considérer f et g dans C(f), fog est-il encore dedans?

2. Il suffit de traduire ce que veut dire "Ker(f-l.Id) stable par g"

Salut !

Tu veux dire C(f) stable par o plutôt non ?
1) Montre déjà que C(f) est non vide (assez trivial, tu as 2 fonctions "toute donnée" pour :p)
Puis, si tu prend g,h€C(f), montre que goh€C(f), c'est-à-dire commute avec f.
o étant associative, et parce que g,h€C(f), tu dois pouvoir y arriver
Si je te dis Id=gog^(-1), et (g^-1)of=(g^-1)ofoId ? :p

2)Il faut montrer que g(Ker(f-lambdaId)) soit inclus dans Ker(f-lambdaId)
ie, si x€Ker..., (ie f(x)=lambda.x)), alors g(x)€Ker..., (ie f(g(x))=lamba.g(x))
Or comme g€C(f), ça va aller tout seul (regarde bien les égalités !)

mercimercimerci!!! vais déjà voir tout ça, mais je comprend tout se suite de quoi vous parlez, un miracle! Ya vraiment des gens bien sur ce forum! Reviendrai probablement bientôt, d'ici je vais me plonger dans la suite du sujet...

Euh, ben comme promis, me re-voilà...
En fait en bonne catastrophe mathématique ambulante qui se respecte, je galère tout aussi lamentablement sur la suite...
Donc si vous vouliez bien continuer à me donner des pistes, je vous en serais longtemps reconnaissante...

Je reprend l'énoncé juste là où je m'étais arrêtée:
Dans toute la suite du problème, ₁ et ₂ sont 2 éléments distincts donnés de IK, et P le polynôme défini par P(X)=(X-₁)(X-₂).
Si f appartient à L(E), on a alors P(f)=(f-₁id)°(f-₂id)

3- a. F₁ et F₂ étant 2 sev supplémentaires dans E, montrer qu'il existe un unique endomorphisme f de E tel que F₁=Ker(f-₁id) et F₂=Ker(f-₂id).
On dit que f est l'endomorphisme associé à (F₁,F₂)
Que vaut P(f)?

b. décrire (ça veut dire quoi??) l'endomorphisme associé à un couple (F₁,F₂) dans chacun des cas (₁,₂)=(1,0) et (₁,₂)=(1,-1)

4-a. soit f un endomorphisme de E tel que P(f)=0
on pose F₁=Ker(f-₁id) et F₂=Ker(f-₂id)
montrer que f est l'endomorphisme associé à (F₁,F₂).
b. quels résultats retrouve-t-on lorsque (₁,₂) prend les valeurs particulières données en 3-b?

Voilà, je remercie tous ceux qui auront la gentillesse d'essayer de me dépanner...

Bonjour, Nalla

Pour la question 3a, tu dis avoir dans ton cours un théorème ce ce genre:

Si F1 et F2 sont deux sous-espaces supplémentaires d'un espace vectoriel E,
si f_1 est une application linéaire de F1 dans un espace vectoriel F,
si f_2 est une application linéaire de F2 dans un espace vectoriel F,
alors, il existe une unique application linéaire f de E dans F telle que la restriction de f à F1 soit égale à f_1 et la restriction de f à F2 soit égale à f_2

Si c'est le cas, tu appliques ce théorème, avec
        



Si ce n'est pas le cas, tu définis f par:

pour tout x élément de E, il existe x1 dans F1, x2 dans F2 tels que: x=x1+x2

...


Ce qu'il faut démontrer ensuite, c'est que    P(f)=0



Pour la question 3b:
penser à la projection sur F1 de direction F2
       à la symétrie par rapport à F1, de direction F2



Pour la question 4a:
Il faut démontrer que   F1 et F2  sont supplémentaires.

Pour la question 4b:
Si  f²=f, alors f est un projecteur  (en choisissant P=X²-X)

comment dire... merci beaucoup, perroquet, d'avoir essayé de me passer un coup de main... mais malgré un bout de temps passé sur mon devoir, je ne comprend pas.
Petit résumé de mes problèmes...
3-a. ce merveilleux théorème est malheureusement inconnu au bataillon, et si je comprend pourquoi on peut écrire que f(x)=₁x₁+₂x₂, je ne vois pas quoi en faire ensuite: en quoi cette écriture montre t elle l'existence et l'unicité de f???
Quant à P(f)=0, la seule justification apparente à mes yeux est le célèbre théorème du pipeau universel, c'est écrit question 4... En d'autres termes, je ne vois pas ce que signifie l'expression P(f)=(f-₁id)°(f-₂id), et je n'arrive donc pas du tout à la manipuler, encore moins à montrer qu'elle vaut 0.
b. puis je dire que les valeurs propres d'un projecteur (resp d'une symétrie) sont (1,0) (resp. (1,-1))? Ou faut il une autre justification?
4-a on ne change pas un problème qui continue à poser problèmes... toujours le fait que je ne comprend pas quoi faire de P(f)=0, pas plus que je n'arrive à manipuler F₁ et F₂.
b. Peut être y a t il trop de choses qui m'échappent, mais je ne vois pas comment tomber sur f²=f (on ne sait rien sur f! ou aurais je (encore) zappé qqch???)
Merci beaucoup si tu pouvais un peu éclairer ma lanterne sur ces qq points...

Reprenons le début de la question 3a.

Unicité de f
Supposons l'existence de f répondant aux conditions données par l'énoncé.
Alors, pour tout x de E, il existe (x1,x2) dans   F1 x F2   tel que   x=x1+x2
On a alors    
Ceci montre que f(x) est définie de manière unique.
Et donc, f est définie de manière unique


Existence de f
On définit donc f comme on l'a fait dans le raisonnement précédent.
On montre que f est linéaire et vérifie les conditions de l'énoncé (sur les noyaux).


Pour montrer que  P(f)=0
En utilisant les notations données précédemment:

On peut écrire que:

Donc  P(f)(x)=P(f)(x1+x2)=P(f)(x1)+P(f)(x2)


Pour la question 3b, il faut utiliser la définition d'une projection. Par définition, si F1 et F2 sont deux sous-espaces supplémentaires, la projection sur F1 de direction F2 est l'application qui à tout x=x1+x2 associe x1 (avec les notation sprécédentes).
Même idée pour la symétrie.


Pour la question 4: je vais attendre que tu aies compris la question 3.

cher perroquet, mon sauveur!
ça va un peu mieux.
En résumé:
3-a, pour l'existence, f est linéaire pcq c'est un endomorphisme, et f(x)=₁x₁+₂x₂, on sait que ₁x₁ est vecteur propre associé à ₁, donc par déf E₁=Ker(f-₁id), et idem pour Ker(f-₂id)?????

pour le P(f)=0, merci beaucoup, compris.

b. euh... premier cas, ça me donne P(f)=(f-id)(f)
soit P(f)(x₁)=(f-x₁)(f), ce qui par un miracle non encore élucidé devrait donner x₁... quel est ce miracle?
et de même, P(f)(x₂)=(f-id)(f), donne plus tard 0
Pour la symétrie je présume que ce doit être la même méthode, mais pareil, impossible de simplifier mes expressions!

Tant pis si mes questions paraissent idiotes, mieux vaut avoir l'air bête 5min que de l'être toute sa vie, donc ça m'aiderait vraiment si tu pouvais y répondre, et encore une fois, merci d'avance pour ton aide!

Pour l'existence (question 3a):

On ne sait pas que f est un endomorphisme, il faut le démontrer. f a été définie par:


Pour tout x de E, il existe x1,x2 dans   F1 x F2  tel que x=x1+x2. Et on a posé:  


Pour montrer que f est linéaire, il faut montrer que, pour tous x et y dans E, pour tout scalaire de K:  
Si x=x1+x2 avec  (x1,x2) dans  F1 x F2
Si y=y1+y2 avec  (y1,y2) dans  F1 x F2, alors:
   avec   dans F1 x F2
Donc  


Il faut maintenant montrer que le noyau de   est égal à F1.
Soit x=x1+x2 un élément de E.


Même démonstration pour le noyau de F2.



Pour la question 3b: c'est en fait très facile. Voici une rédaction complète:

Lorsque   ,  f est l'application qui, à tout x=x1+x2, asssocie le vecteur x1. On reconnaît la projection sur F1 de direction F2.
L'endomorphisme associé à un couple (F1,F2) lorsque     est donc la projection sur F1 de direction F2

Perroquet, je sais pas comment te remercier, pour moi comprendre ce que je fais en maths c'est un miracle, et j'en suis au stade où j'ai suffisamment compris ce que tu me racontes pour ne pas avoir à recopier véritablement. Un miracle!
ceci dit, j'ai toujours du mal avec la question 4, donc si tu pouvais me donner un indice ou plus concernant la façon de démontrer que F₁ et F₂ sont supplémentaires... montrer que Ker(f-₁id) et Ker(f-₂id) sont en somme directe dans E? je vois pas comment m'y prendre, toujours du mal à manipuler les Ker...

4-b, on doit logiquement retrouver le projecteur et la symétrie. Mais je ne vois pas ce que l'on sait, donc ce dont on peut partir pour le démontrer: si on sait que f est l'endomorphisme associé à F₁,F₂ comme on est sensé l'avoir montré en a, comme P(f)=0, la question est rigoureusement la même que la 3-b, donc démonstration à recopier à la virgule près? Ou est ce que je considère comme acquis qqch qui ne l'est pas?

Et les choses ne vont pas franchement en s'arrangeant avec le temps...
suite de mes galères:

Jusqu'à la fin du pb, f est un endomorphisme de E tel que P(f)=0, on pose F₁=Ker(f-₁id) et F₂=Ker(f-₂id).

5- montrer qu'il existe 2 projecteurs p₁ et p₂ tels que {p₁+p₂=id
{Imp₁=F₁ et Imp₂=F₂
Quels sont les noyaux de F₁ et F₂?

alléluia!!! réussi cette question!!!

6-a. montrer qu'un élément g de L(E) appartient à C(f) ssi g laisse stables F₁ et F₂.
là, pour changer, je vois pas l'ombre d'un rapport entre les deux côtés de la supposée équivalence...
et je crois que déjà si tu peux me donner des indications sur ces questions, j'aurai déjà bcp avancé!
Encore merci de l'attention que tu portes à ce problème, j'attends avec impatience ta réponse!

Question 4a

On commence à démontrer que F1 et F2 sont en somme directe, donc que l'intersection de F1 et de F2 est réduite au vecteur nul. Un élément x de cette intersection vérifie:
   puisque x est dans F1
   puisque x est dans F2
Donc    
Et, puisque      est non nul, on en déduit que   x=0


Ensuite, on doit démontrer que tout vecteur x de E s'écrit sous la forme    x1+x2,   avec (x1,x2) appartenant à   (F1 x F2).  

La recherche de (x1,x2) n'est pas du tout évidente. A mon avis, les détails de la recherche qui vont suivre ne doivent pas figurer sur la copie (c'est long à écrire et difficile à rédiger, parce qu'on suppose que x1 et x2 existent, alors qu'on ne les connait pas encore ...). Il s'agit de trouver   x1 et x2 en fonction de x. Pour cela, on va écrire que:
x=x1+x2

On multiplie la première égalité par et on retranche la deuxième égalité. On obtient:

Ce qui nous donne donc:  
On obtiendra de même que:    

"On revient maintenant sur la copie".
On posera donc ("arbitrairement"):
    
Il est facile de vérifier que     x=x1+x2
Maintenant, il faut vérifier que x1 appartient à F1. On remarque que:

Donc:  
    puisque    P(f)=0
Donc, x1 est dans F1. On montre de même que x2 est dans F2.

Voilà. On a (enfin) montré que  F1 et F2 sont supplémentaires et donc, ensuite, que f est l'endomorphisme associé à (F1,F2).




Il reste maintenant la question 4b.
Tu as obligatoirement dans ton cours la propriété suivante:
si f est une application linéaire telle que    , alors, f est une projection.

Il s'agit de redémontrer cette propriété à l'aide de ce qui a été fait. Soit donc f tel que donc tel que  f²=f.
On choisit donc   P=X²-X=(X-1)X
On a: P(f)=0
Donc, d'après la question 4a, f est l'endomorphisme associé à (F1,F2) avec  F1=ker(f-Id)   F2=ker(f). C'est la projection sur F1 de direction F2.

Tu peux aussi décider de (re)démontrer la propriété suivante:
si f est une projection, alors,
(en utilisant le polynôme  X²-X  et la question 3a).
Je pense, personnellement, que l'énoncé ne le demande pas.

Pour la symétrie, c'est la même idée.

Bonne lecture

Je viens de lire le post de 23h25.
Je vais attendre que tu aies bien compris la question 4.

Une petite indication quand même:
La deuxième question du sujet permet de montrer que si g appartient à C(f), alors g laisse stables F1 et F2.

vraiment merci pour ces expliquations claires ! ca m'a été d'une grande aide !

bon, net progrès, réussi à refaire question 4 en entier sans regarder mon écran, symétrie comprise. Tite question cependant:  à la fin de la question 4-a, tu calcules (f-₁)(x₁): pourquoi? En quoi le fait que ce calcul donne 0 montre-t-il que x₁ appartient bien à F₁?

Suite de mon énoncé, toujours aussi problématique...
on en était donc à la question 6-b: on suppose dans cette question, et seulement dans cette question, que E est de dimension finie non nulle.
   *soit g u endomorphisme de E que commute avec tout autre endomorphisme de E
      (i) montrer que pour tout x de E il existe _x€IK tel que                      g(X)=_xx
      (ii) montrer que si (x,y) est une famille libre de E, _x=_y.
   ** quels sont les endomorphismes de E qui commutent avec tout autre endomorphisme de E?

Fin (enfin!) de la question 6. J'ai regardé sans grand succès le début de la première *, je m'y remets dès que j'aurai trouvé le 6-a! En vraiment merci du fond du coeur pour toutes tes explications!

Je réponds seulement pour la question 4.
Il y avait une erreur typographique dans mon post:

ce n'est pas  

mais    

Si on montre que cette quantité est nulle, cela montre bien que que x1 est dans le noyau de  , qui est égal à F1.

ok tout s'éclaire!
bon, je retourne à ma question 6... te tiendrai au courant de mes investigations! merci beaucoup!

cher perroquet, j'aurais quelques questions à te poser sur la suite du devoir:
question 6-a: d'après la question 2, je dirais que g€C(f)F₁ et F₂ stables par g.
Pour la réciproque, j'ai un bout de calcul, mais il y a un os à la fin dont je ne sais pas quoi faire:
En raisonnant sur F₁:
F₁ stable par g signifie g(Ker(f-₁id))€Ker(f-₁id)
Donc pour x€Ker(f-₁id), f(x)=₁x
j'ai alors g(x)€Ker(f-₁id) car F₁ stable par g, soit g°f(x)=g(₁x), et g(₁x)€Ker(f-₁id)
donc je continue, g(₁x)€Ker(f-₁id)f°g(₁x)=₁g(₁x)

donc en résumé, j'ai g°f(x)=g(₁x) et f°g(₁x)=₁g(₁x), ce qui se ressemble beaucoup à un coefficient ₁ près dont je ne sais pas quoi faire...
Par ailleurs, si ce calcul fonctionne aussi pour F₂, à aucun moment je n'ai besoin que F1 ET F2 soient stables par g pour que g€C(f), ce qui me paraît un peu étrange
Voilà, si tu pouvais me donner ton avis sur ces points là...

Question 6a

Comme je l'ai écrit, si g est dans le commutant de f, d'après la deuxième question, les sous-espaces propres de f sont stables par g. Donc, F1 et F2, qui sont des sous-espaces propres de f, sont stables par g.

Réciproquement, si g laisse stables F1 et F2, montrons que    gof= fog   ; donc, montrons que, pour tout x de E,  g(f(x))=f(g(x)).
Soit donc x un vecteur de E. De nouveau, il existe (x1,x2) dans  F1 x F2  tel que x=x1+x2. On a:

f(g(x))=f(g(x1))+f(g(x2)).  Or, puisque g laisse stables F1 et F2, g(x1) est dans F1 et donc  . De même  . D'où, finalement   .
D'où:  fog(x)=gof(x)


Question 6b
Soit x un vecteur non nul. On choisit  F1 la droite vectorielle de base x, et F2 un sous-espace supplémentaire de F1 (un tel sous-espace existe, E étant de dimension finie). On choisit (on peut prendre n'importe quelles valeurs pour , pourvu qu'elles soient distinctes) et f l'endomorphisme associé au couple (F1,F2).  f et g commutent puisque g commute avec tout endomorphisme de E. D'après la question 6a, F1 est stable par g. x est une base de F1, son image par g appartient à F1 et donc, il existe tel que    

Pour la question ii, avec les notations de l'énoncé:  
Donc:    
Comme  (x,y) est une famille libre:    
D'où, finalement    


Pour la fin de la question, il faut trouver que les endomorphismes commutant avec tous les endomorphismes sont les applications  

j'oubliais:
pour la question 6-b*, je ne vois pas bien ce qui change par rapport aux questions précédentes: il me semble évident (on l'a vu question 4-a) que comme x se décompose en x1 et x2 avec g(x1)=₁x1, et idem en ce qui concerne x2, on a g(x)=_xx, et le x en indice vaut 1 ou 2!
pour la question 6-b**: comme ça, je dirais que ce sont les endomorphismes du type _xid, parce que g s'exprime sous cette forme (question * (i)) et que x ne peut pas s'exprimer en fonction de y, _x et _y sont différents (l'histoire de la famille libre)!
STP pourrais tu me dire si ça va ou si j'ai réellement loupé quelque chose? Je te remercie (encore! ) beaucoup de tout ce que tu fais pour moi!

oups, petit bug internet, je n'avais pas vu que tu avais répondu, j'épluche tout ça et je continue! re-merci!

compris presque tout, il n'y a que l'histoire à la fin du 6-a*i, la conclusion "donc _x existe tel que g(x)=_xx qui m'intrigue un peu...  si tu pouvais ré-expliquer...
je te passe la suite, je m'y plonge après dîner, ce qui risque de prendre un peu de temps considérant que je dois d'abord m'acheter qqch à manger! Mais crois moi, tu es en train t'accomplir un miracle, je cesse de considérer mon énoncé comme pestiféré... à force de comprendre, je vais finir par ne plus détester les maths! Merci!
question 7
montrer qu'un élément g de L(E) appartient à C(f) ssi il existe des endomorphismes g₁€L(F₁) et g₂€L(F₂) tels que g=g1°p1+g2°p2.
Voilà, vive les maths, et probablement à plus tard!

intuitivement, je comprends que la démo du 6-a*i est juste, mais je serai parfaitement incapable d'en expliquer clairement la fin... tu pourrais me donner quelques précisions supplémentaires sur la fin?

pour la question 7:
je commence par calculer g(x), je trouve que g(x)=g1°p1+g2°p2=g1(x1)+g2(x2)
ensuite, je calcule f°g, ce qui me donne 1g1(x1)+2g2(x2),
                 et g°f, qui se trouve valoir la même chose (en se servant de la première égalité calculée concernant g(x)).
Ce qui voudrait dire que g°f=f°g, et qu'on aurait réussi a démontrer la réciproque.
Par contre, en ce qui concerne l'implication directe, je sèche complètement, je ne vois pas comment introduire les projecteurs dans les histoires de commutant dont on dispose. Donc si tu avais une piste de réflexion à me soumettre, ça m'aiderait incontestablement...

question 8, sur laquelle je me suis aussi penchée:
soit g un élément de C(f).
montrer que P(g)=0 ssi P(g1)=P(g2)=0.

après pas mal de tentatives totalement infructueuses, j'ai tenté de calculer P(g1) et P(g2).
On a: P(g2)(x)=P(g2)(x2)=(g2-1id)°(g2-2id)(x2)=g2-1id)(g2(x2)-2x2)
or g2(x2)=2x2, donc P(g2)=0,
et de même pour P(g1)=0.
Et après... je ne sais pas comment m'en sortir: je voudrais dire que P(g1)+P(g2)=P(g)=0, mais le calcul ne veut pas coller, (g2-1id)+(g-2id) n'est pas (g-1id)°(g-2id)... comment faire????
Voilà où j'en suis, et je sais que je me répète mais tant pis, merci pour toute ton aide et s'il te plaît, fais moi encore un peu bénéficier de tes précieux conseils!

et je retire le début de mon post concernant la question 6, avec ta dernière explication, tout s'est éclairci! Je m'embrouillais dans ce que signifiait vraiment _x, mais vu comme ça, j'ai compris! mille merci!

Question 7, c'est OK pour la "réciproque"

En ce qui concerne le sens direct.
Puisque g est un élément de C(f), alors, d'après la question 6a, g laisse stables F1 et F2. Notons g1 la restriction de g à F1 et g2 la restriction de g à F2.
Pour tout x élément de E, on écrit x sous la forme  x=x1+X2  avec  (x1,x2) dans   F1 x F2.
On a:

On vient de démontrer que  

Fin! Mon cher perroquet, toi qui m'a permis de survivre à un DM de maths de plus, mais cette fois j'en sors sans que ma haine des maths se soit accrue (irais je jusqu'à dire qu'elle a même un peu diminué? Peut être bien! ), je te remercie du fond du coeur. Pour la question 8, j'ai bricolé un truc à base de réduction de g à g1 et g2, on verra. Théoriquement il me reste une 9ième question, mais je crois que j'ai déjà accompli avec ton aide un miracle en allant jusque là... Donc voilà, encore une fois mille merci, et peut-être à bientôt sur ce merveilleux site!