Sous espaces vectoriels et supplémentaires

Posté par laurafr13 laurafr13

Bonjour,

Merci d'avance pour votre aide précieuse,

Le premier exemple est celui ci:

Soit E l'ensemble des fonctions dérivables de R dans R. Soit F={fE/f(0)=f'(0)=0}.
Montrer que F est un sous espace vectoriel de E et déterminer un supplémentaire de F dans E.

J'ai fait la première question sans soucis, mais je n'ai aucune idée pour la seconde.

Voici le deuxième exemple:

Soit E={(u_n)_nNR^N/u_n)_n converge}.
Montrer que l'ensemble des suites constantes (F) et l'ensemble des suites convergeant vers 0 (G) sont supplémentaires dans E.

Je suppose qu'ici il faut intuitivement montrer en premier lieu qu'il s'agit de sous-ev, ce qui apparamment n'a pas l'air de poser réellement problème.
Ensuite, il faut démontrer que E= F+G, l'inclusion vers la droite est évidente, dans la mesure ou ce sont des sev, pour celle vers la gauche je ne vois pas trop comment on peut décomposer.
Pour l'intersection limitée au vecteur nul, ca semble assez évident puisque la seule constante dont la limite est 0 est justement 0 non?


Merci beaucoup pour votre aide,

Laura

Posté par perroquet perroquet

Bonjour, laurafr13

Pour le deuxième exemple:

Si est une suite convergente de limite l, on peut écrire:


avec        

On a donc bien écrit comme la somme d'une suite constante et d'une suite convergeant vers 0.

Posté par laurafr13 laurafr13

Merci bcp pour cette réponse.

Pas une petite idée pour le premier?

Posté par perroquet perroquet

Pour le premier exemple, on choisit pour sous-espace G l'ensemble des fonctions qui s'écrivent sous la forme       g(x)= a cos(x) + b sin(x)

Tout élément h de E s'écrit sous la forme:    h = f + g    avec:
g(x) = h(0) cos(x) + h'(0) sin(x)          et        f=h-g

...

Posté par laurafr13 laurafr13

merci bcp!