Exercice 1
On se donne un nombre complexe a qui n'est pas un reel negatif ou nul.
1. (a) Montrer qu'il existe un unique nombre complexe b de partie reelle strictement positive tel
que b^2 = a.
On note desormais P+ ={z appartient a C;(z/b)> 0}
   (b) Dans cette question (et uniquement ici) on suppose que a = 2i. Determiner le nombre b
dans ce cas particulier et representer l'ensemble des points du plan dont l'affixe est dans P+.
2. On revient au cas general et on considere l'application f qui a tout complexe z non nul associe
f(z) =1/2(z + a/z)
Etablir l'inclusion : f(P+) C P+ et montrer que a apartient aP+.
3. On considere la suite (zn) definie par la donnee de z0 = a et par la relation de recurrence :
pour tt n appartenant a N; zn+1 = f(zn).
On pose egalement : wn = (zn - b)/(zn + b)
   (a) Justier l'existence des suites (zn)et (wn)
   (b) Exprimer, pour tout entier naturel n non nul wn en fonction de wn-1 puis montrer que
pour tt n de N; wn = (w0)^2^n.
   (c) Prouver que valeur absolue de wo < 1 et en deduire la limite de la suite (zn).
(On admet que les theoremes sur la convergence des suites geometriques reelles restent
valables pour les suites complexes.)
Exercice 2
1. (a) Demontrer que toute equation du 4eme degre en X; (X de C) a coefficients reels, dont on
rendu le coefficient de X4 egal a 1:
X^4 + AX^3 + BX^2 + CX + D = 0 (1)
peut etre ramenee, par un changement d'inconnue de la forme X = x + alfa a une equation
a coefficients reels de la forme :
x^4 + ax^2 + bx + c = 0 (2):
(b) Demontrer que l'equation (2) peut se mettre, d'une infinite de facons, sous la forme :
T^2(x) + T'(x) = 0 (3)
T et T0 etant deux polynomes du second degre en x, T etant necessairement de la forme
T(x) = (x^2 + beta) (on posera T'(x) = ux^2 + vx + w et on calculera u; v; et w en fonction de
a; b; c et beta.
Remarque : T' n'a rien a voir avec la derivee de T.
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(c) Demontrer que le polynome T' peut etre mis sous la forme T'(x) = u(x +y)^2 pourvu que
beta soit solution d'une equation du troisieme degre definie par f(beta) = 0 que l'on formera.
En deduire que, si l'on peut trouver une solution de l'equation '(beta) = 0, on peut resoudre
dans le corps des complexes l'equation (1).
Cette methode a ete inventee par le mathematicien bolonais Ferrari (1522-1565) et ramene ainsi
la resolution d'une equation du 4eme degre a celle d'une equation du 3eme degre.
2. Appliquer ce qui precede a l'equation : f(x) = 0 (4) où  f(x) = x^4 + 3x^2 + 6x + 10.
Calculer dans ce cas particulier, les solutions dans C de l'equation definie par f(beta) = 0 (l'une
des solutions est 1).
En deduire trois factorisations du polynome f(x) en un produit de deux trinomes a coefficients
reels ou complexes, et la resolution dans C de l'equation (4).
Representer les images des solutions dans le plan complexe. Quelle est leur somme et quel est
leur produit?
3. Resoudre dans C l'equation F(X) = 0 (5) ou               F(X) = X^4-  4X^3 + 9X^2 -4X + 8.
Quels sont les modules et les arguments des solutions? Quelle est leur somme et quel est leur
produit?
Factoriser F(X) sur le corps des reels.
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