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Niveau maths spé
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matrices semblables

Posté par
Marie-C
21-09-08 à 21:19

bonsoir
waouh, ça faisait longtemps que je n'étais pas venue sur le site.....
J'ai un petit problème
je dois montrer que
A=\(\array{3,c.cccBCCC$&1&2&3\\\hdash~1&1&2&3\\2&3&1&2\\3&2&3&1}\) 
 \\
et
A'=\(\array{3,c.cccBCCC$&1&3&2\\\hdash~1&1&3&2\\2&2&1&3\\3&3&2&1}\) 
 \\
sont semblables
Donc il faut montrer que a'=P-1AP
bref, je ne sais pas comment faire
J'aimerais bien qu'in m'indique la méthode générale
Sinon, dans le cas présent, je sais qu'elles sont équivalentes (l'une est la transposée de l'autre)
Ps: si quelqu'un pouvait m'indiquer ce que signifie la phrase: la relation de similitude pour les matrices est une relation d'équivalence (je vois ce que signifie équivalence pour les matrices mais)

merci d'avance

Posté par
gui_tou
re : matrices semblables 21-09-08 à 21:27

Salut Marie (vi ça fait longtemps ^^)

A et A' sont semblables si elles représentent le même endomorphisme f dans deux bases B1 et B2 différentes.

Note 3$A=\rm{mat}_{B_1}(f) et 3$A'=\rm{mat}_{B_1_2}(f).
Il faut raisonner par analyse synthèse en supposant qu'il existe de telles bases B1 et B2.
En donnant des noms aux vecteurs de ces bases, tu es ramenée à un systeme que tu sais résoudre. S'il admet des solutions, c'est que les matrices sont semblables.

Posté par
perroquet
re : matrices semblables 21-09-08 à 21:29

Bonjour, Marie-C

Pour la première question:
On peut calculer le polynôme caractéristique qui est scindé à racines simples. Cela prouve que A et A' sont diagonalisables avec mêmes valeurs propres, donc semblables.

Pour le ps:
une relation d'équivalence est une relation réflexive, symétrique et transitive.

Posté par
Nightmare
re : matrices semblables 21-09-08 à 21:31

Salut

Une relation d'équivalence est une relation transitive, symétrique et réflexive.

Pour ce qui est de montrer que tes deux matrices sont semblables, tu peux aussi les réduire !

P-S : Une matrice réelle est toujours semblable à sa transposée.

Posté par
gui_tou
re : matrices semblables 21-09-08 à 21:31

Re perroquet!

Si Marie a vu tout ça, alors c'est beaucoup mieux, pas de doutes

Posté par
Nightmare
re : matrices semblables 21-09-08 à 21:31

Bonjour Perroquet, messages croisés

Posté par
perroquet
re : matrices semblables 21-09-08 à 21:32

Aussi rapide au clavier que Lucky Luke avec un revolver, gui-tou  

Re-bonjour

Posté par
Marie-C
re : matrices semblables 21-09-08 à 21:33

salut gui_tou (merci de ta réponse rapide)
donc
je suppose que B1=(e1,e2,e3) et B2=(e'1,e'2,e'3) existent
et après je dois résoudre
f(e1)=e1+3e2+2e3
f(e2)=2e1+e2+3e3
f(e3)=3e1+2e2+e3
de même pour la matrice A'.
Mais après, comment relier les deux???

Posté par
perroquet
re : matrices semblables 21-09-08 à 21:34

Bonsoir, Nightmare

Joyeux anniversaire

Posté par
Marie-C
re : matrices semblables 21-09-08 à 21:36

salut perroquet et nightmare
Euh, c'est quoi les valeurs propres ???
Comment on sait qu'une matrice réelle est toujuors semblable à sa transposée?

Posté par
Nightmare
re : matrices semblables 21-09-08 à 21:38

Merci perroquet

Marie-C > Oublie ce qu'on a dit pour la réduction et les valeurs propres.

Concernant la propriété que je t'ai cité, on peut la démontrer en utilisant les réduites de Jordan.

Posté par
Marie-C
re : matrices semblables 21-09-08 à 21:39

joyeux anniversaire alors!!!! (ça te fait quel âge? 19?)
ok mais ça ne m'aide pas tellement plus.

Posté par
Nightmare
re : matrices semblables 21-09-08 à 21:40

oui 19

As-tu posé ton système?

Posté par
Marie-C
re : matrices semblables 21-09-08 à 21:42

oui.

Posté par
perroquet
re : matrices semblables 21-09-08 à 21:43

gui_tou avait donc raison, il fallait chercher une solution élémentaire. Les valeurs propres et les matrices diagonalisables, il vaut mieux attendre de les voir en cours, ce qui ne saurait tarder.

Revenons à l'exercice.
Prendre  e'1=e3    e'2=e2   e'3=e1

Je sais, ce n'est qu'une astuce, et cela ne donne pas une méthode générale ...

Posté par
Marie-C
re : matrices semblables 21-09-08 à 21:49

euh,
Je ne vois pas trop comment on peut obtenir e'1=e3
j'ai peut être rien compris mais j'ai posé deux systèmes
f(e1)=e1+3e2+2e3   et f(e'1)= e'1+2e'2+3e'3
f(e2)=2e1+e2+3e3      f(e'2)= 3e'1+e'2+2e'3
f(e3)=3e1+2e2+e3      f(e'3)= 2e'1+3e'2+e'3

alors peut on dire qu'elles ont même image? (ça doit pas être très clair ce que je raconte)

Posté par
Marie-C
re : matrices semblables 21-09-08 à 21:53

j'avias pas vu toutes les modifications apportées au site, impressionnant!!!

Posté par
perroquet
re : matrices semblables 21-09-08 à 21:57

f est de matrice A dans (e1,e2,e3), par construction

f est de matrice A' dans (e'1,e'2,e'3).

A et A', étant les matrice d'un même endomorphisme dans deux base différentes, sont donc semblables.

Posté par
Marie-C
re : matrices semblables 21-09-08 à 22:01


je suis désolée, je ne comprends pas.
c'est ce qu'on veut montrer (or pour l'instant, je n'arrive à rien)

Posté par
perroquet
re : matrices semblables 21-09-08 à 22:12

Je munis C³ de la base canonique (e1,e2,e3).

Je considère l'endomorphisme f de matrice A dans la base (e1,e2,e3). On a:

f(e1) =  e1 + 3e2 + 2e3
f(e2) = 2e1 +  e2 + 3e3
f(e3) = 3e1 + 2e2 +  e3

Alors,  (e'1,e'2,e'3)=(e3,e2,e1) est toujours une base (on n'a fait que permuter les vecteurs de la base). De plus:

f(e'1) =  f(e3) =  e'1 + 2e'2 + 3e'3
f(e'2) =  f(e2) = 3e'1 +  e'2 + 2e'3
f(e'3) =  f(e1) = 2e'1 + 3e'2 +  e'3

Ce qui prouve que la matrice de f dans la base  (e'1,e'2,e'3) est égale à A'.

J'ai donc bien trouvé un endomorphisme d'un espace vectoriel de dimension 3, dont les matrices dans deux bases différentes sont égales à A et A'.
Ceci montre bien que A et A' sont semblables.

Posté par
Marie-C
re : matrices semblables 21-09-08 à 22:18

ok d'accord (donc avec un peu d'astuce, ça marche dans ce cas là)
mais dans le cas général, (bon et il faut trouver l'astuce, je ne suis pas sûre que je l'aurais vue) comment peut on faire?
a priori, on ne peut pas écrire des égalités entre les deux systèmes

Posté par
perroquet
re : matrices semblables 21-09-08 à 22:28

En ce qui concerne une méthode générale:

Comme Nightmare et moi-même te l'avions suggéré, l'idée est de trouver une matrice simple à laquelle A et A' sont semblables. Mais pour trouver une matrice simple à laquelle A et A' sont semblables, il faut connaître le cours sur la réduction des endomorphismes (valeurs propres, vecteurs propres, diagonalisation ...) que tu n'as pas encore vu.

Pour le moment, la seule méthode générale que tu pourrais employer serait de résoudre l'équation  A'P=PA  (neuf équations à 9 inconnues !!) et de chercher si, parmi les solutions, il y a des matrices inversibles. Ce serait une très mauvaise idée ...

Posté par
Marie-C
re : matrices semblables 21-09-08 à 22:37

ok (je confirme, c'est une mauvaise idée un système de 9 équations à 9 inconnues
merci beaucoup perroquet
(Merci à gui-tou et nightmare!!!!!!!!!!)

Posté par
Nightmare
re : matrices semblables 21-09-08 à 22:37

Pour ma part je t'en prie

Posté par
gui_tou
re : matrices semblables 22-09-08 à 20:57

Moi aussi je t'en prie, ça m'a fait plaisir de te revoir ^^



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