Salut Marie (vi ça fait longtemps ^^)

A et A' sont semblables si elles représentent le même endomorphisme f dans deux bases B₁ et B₂ différentes.

Note et .
Il faut raisonner par analyse synthèse en supposant qu'il existe de telles bases B₁ et B₂.
En donnant des noms aux vecteurs de ces bases, tu es ramenée à un systeme que tu sais résoudre. S'il admet des solutions, c'est que les matrices sont semblables.

Bonjour, Marie-C

Pour la première question:
On peut calculer le polynôme caractéristique qui est scindé à racines simples. Cela prouve que A et A' sont diagonalisables avec mêmes valeurs propres, donc semblables.

Pour le ps:
une relation d'équivalence est une relation réflexive, symétrique et transitive.

Salut

Une relation d'équivalence est une relation transitive, symétrique et réflexive.

Pour ce qui est de montrer que tes deux matrices sont semblables, tu peux aussi les réduire !

P-S : Une matrice réelle est toujours semblable à sa transposée.

Re perroquet!

Si Marie a vu tout ça, alors c'est beaucoup mieux, pas de doutes

Bonjour Perroquet, messages croisés

Aussi rapide au clavier que Lucky Luke avec un revolver, gui-tou  

Re-bonjour

salut gui_tou (merci de ta réponse rapide)
donc
je suppose que B1=(e1,e2,e3) et B2=(e'1,e'2,e'3) existent
et après je dois résoudre
f(e1)=e1+3e2+2e3
f(e2)=2e1+e2+3e3
f(e3)=3e1+2e2+e3
de même pour la matrice A'.
Mais après, comment relier les deux???

Bonsoir, Nightmare

Joyeux anniversaire

salut perroquet et nightmare
Euh, c'est quoi les valeurs propres ???
Comment on sait qu'une matrice réelle est toujuors semblable à sa transposée?

Merci perroquet

Marie-C > Oublie ce qu'on a dit pour la réduction et les valeurs propres.

Concernant la propriété que je t'ai cité, on peut la démontrer en utilisant les réduites de Jordan.

joyeux anniversaire alors!!!! (ça te fait quel âge? 19?)
ok mais ça ne m'aide pas tellement plus.

oui 19

As-tu posé ton système?

oui.

gui_tou avait donc raison, il fallait chercher une solution élémentaire. Les valeurs propres et les matrices diagonalisables, il vaut mieux attendre de les voir en cours, ce qui ne saurait tarder.

Revenons à l'exercice.
Prendre  e'1=e3    e'2=e2   e'3=e1

Je sais, ce n'est qu'une astuce, et cela ne donne pas une méthode générale ...

euh,
Je ne vois pas trop comment on peut obtenir e'1=e3
j'ai peut être rien compris mais j'ai posé deux systèmes
f(e1)=e1+3e2+2e3   et f(e'1)= e'1+2e'2+3e'3
f(e2)=2e1+e2+3e3      f(e'2)= 3e'1+e'2+2e'3
f(e3)=3e1+2e2+e3      f(e'3)= 2e'1+3e'2+e'3

alors peut on dire qu'elles ont même image? (ça doit pas être très clair ce que je raconte)

j'avias pas vu toutes les modifications apportées au site, impressionnant!!!

f est de matrice A dans (e1,e2,e3), par construction

f est de matrice A' dans (e'1,e'2,e'3).

A et A', étant les matrice d'un même endomorphisme dans deux base différentes, sont donc semblables.

je suis désolée, je ne comprends pas.
c'est ce qu'on veut montrer (or pour l'instant, je n'arrive à rien)

Je munis C³ de la base canonique (e1,e2,e3).

Je considère l'endomorphisme f de matrice A dans la base (e1,e2,e3). On a:

f(e1) =  e1 + 3e2 + 2e3
f(e2) = 2e1 +  e2 + 3e3
f(e3) = 3e1 + 2e2 +  e3

Alors,  (e'1,e'2,e'3)=(e3,e2,e1) est toujours une base (on n'a fait que permuter les vecteurs de la base). De plus:

f(e'1) =  f(e3) =  e'1 + 2e'2 + 3e'3
f(e'2) =  f(e2) = 3e'1 +  e'2 + 2e'3
f(e'3) =  f(e1) = 2e'1 + 3e'2 +  e'3

Ce qui prouve que la matrice de f dans la base  (e'1,e'2,e'3) est égale à A'.

J'ai donc bien trouvé un endomorphisme d'un espace vectoriel de dimension 3, dont les matrices dans deux bases différentes sont égales à A et A'.
Ceci montre bien que A et A' sont semblables.

ok d'accord (donc avec un peu d'astuce, ça marche dans ce cas là)
mais dans le cas général, (bon et il faut trouver l'astuce, je ne suis pas sûre que je l'aurais vue) comment peut on faire?
a priori, on ne peut pas écrire des égalités entre les deux systèmes

En ce qui concerne une méthode générale:

Comme Nightmare et moi-même te l'avions suggéré, l'idée est de trouver une matrice simple à laquelle A et A' sont semblables. Mais pour trouver une matrice simple à laquelle A et A' sont semblables, il faut connaître le cours sur la réduction des endomorphismes (valeurs propres, vecteurs propres, diagonalisation ...) que tu n'as pas encore vu.

Pour le moment, la seule méthode générale que tu pourrais employer serait de résoudre l'équation  A'P=PA  (neuf équations à 9 inconnues !!) et de chercher si, parmi les solutions, il y a des matrices inversibles. Ce serait une très mauvaise idée ...

ok (je confirme, c'est une mauvaise idée un système de 9 équations à 9 inconnues
merci beaucoup perroquet
(Merci à gui-tou et nightmare!!!!!!!!!!)

Pour ma part je t'en prie

Moi aussi je t'en prie, ça m'a fait plaisir de te revoir ^^