Bonjour romu,

je ne suis pas très familier avec ce genre de choses mais il me semble qu'on peut procéder la manière suivante.

Supposons par l'absurde que P n'est pas premier.
Alors il existe x et y hors de P tels que x.y est dans P.
On sait alors que soit x n'est pas dans S, soit y n'est pas dans S (si les deux y étaient alors le produit serait dans S et donc pas dans P car l'intersection est nulle).
Supposons sans perte de généralité que c'est y qui n'est pas dans S.

Considérons à présent l'idéal P' engendré par y et par les éléments de P.
Montrons que l'intersection de P' avec S est vide
Par l'absurde, on suppose qu'il existe z et z' tel que yz+pz' est dans S (avec p dans P)
On multiplie à gauche par x. On reste donc dans P'.
Mais alors xyz+xpz' est dans P et donc pas dans S -> contradiction

On a donc montré que P' est un idéal d'intersection vide avec S strictement plus grand que P, ce qui contredit l'hypothèse de maximalité.

Sauf erreurs ,

1emeu

qd on sait pas faire il faut toujours penser a raisonner par l'absurde
s'il existe x et y tels que xy soit dans P et ni x ni y n'y soit
alors les ideaux engendré par P et x et engendré par P et y sont plus grd que P dc rencontre S

la contradiction arrive assez facilement ensuite
je te laisse chercher

ah oui c'est plus simple comme ça

D'ailleurs je viens de remarquer que ma preuve est fausse :

Ok je crois que j'ai trouvé.

Je note et .
Les idéaux et rencontrent ,

ie il existe dans qu'on peut écrire sous la forme

et , avec dans , et dans .

appartient à (car multiplicative) et
est aussi dans l'idéal ( par hypothèse),
ainsi rencontre aussi , ce qui est absurde.

Merci à vous deux