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Calculs de sommes (binome de newton).. [2]

Posté par
marsmallow 19-11-08 à 21:20

Bonsoir, j'aurais besoin d'aide pour la compréhension de cet exercice..

Calculer \sum_{k=0}^n k^2 \(n\\k\)   On pourra poser k²=k(k-1)+k
Ce uqe je ne comprends pas, est en gras et il y a des questions aussi

CORRECTION:

\sum_{k=0}^n k^2 \(n\\k\)  
= \sum_{k=0}^n [k(k-1)+k] \(n\\k\)  
= \sum_{k=0}^n [k(k-1)] \(n\\k\) + \sum_{k=1}^n k \(n\\k\)] Pourquoi avons nous k=1? si on ne fait que séparer la somme? :s jdois avoir louper qqch chose dans le cours..
= \sum_{k=2}^n [k(k-1)] \(n\\k\) + n[tex]2^{n-1}
= = \sum_{k=2}^n [n(k-1)] \(n-1\\k-1\) + n[tex]2^{n-1}
= = \sum_{k=2}^n [n(n-1)] \(n-2\\k-2\) + n[tex]2^{n-1}
= n(n-1)2^{n-2}+ n2^{n-1}
= n2^{n-1} (2n-2+1)
= 2^{n-1}(2n-1)

Voilà, j'espère avoir des explications, limite avec les formules avec ! Je suis motivée pour tout tout comprendre ^^

Bonne soirée

Posté par
marsmallowre : Calculs de sommes (binome de newton).. [2] 19-11-08 à 21:21

Encore une fois les [?] ne servent à rien, et je suis désolé, si le gras ne se voit pas très bien et s'il y a quelques formules qui sont erronés!
Mais, en faite, c'est tout que j'ai pas compris, alors faites comme si tout était en gras ^^

Posté par
gui_toure : Calculs de sommes (binome de newton).. [2] 19-11-08 à 21:26

salut !

Citation :
Pourquoi avons nous k=1? si on ne fait que séparer la somme? :s jdois avoir louper qqch chose dans le cours..


Tu as raison, on doit commencer à 0. Mais vu qu'on multiplie par k, qui en 0 vaut 0, on multiplie donc par 0 et ça vaut 0

C'est un peu comme dire 3$\Bigsum_{k=0}^nk=\Bigsum_{k=1}^nk

3 lignes avant la fin : on peut sortir n(n-1) de la première somme puisque ce terme ne dépend pas de la variable qui bouge, à savoir k.

Ensuite, on utilise 3$\Bigsum_{k=0}^p\(p\\k\)=2^p. pour bien le voir, fais le changement de variable h = k-2 (attention le n-2 du symbole combinaison ne bouge pas )

même idée pour la somme d'à côté, on sort le n, et on reprend 3$\Bigsum_{k=0}^p\(p\\k\)=2^p avec cette fois-ci p=n-1


Les deux dernières lignes : on factorise par 2n-1

J'espère avoir été un tant soit peu clair

Posté par
marsmallowre : Calculs de sommes (binome de newton).. [2] 19-11-08 à 22:15

Dsl, je ne comprends pas l'histoire de k=1 et cmoment on passe à la ligne 3

Posté par
gui_toure : Calculs de sommes (binome de newton).. [2] 19-11-08 à 22:17

y a rien à comprendre,

0 + 1 + 2 + 3 + ... + n = 1 + 2 + 3 + ... + n

ligne 3 : on écrit 3$[k(k-1)+k]\(n\\k\)\ =\ k(k-1)\(n\\k\)+k\(n\\k\)

Posté par
marsmallowre : Calculs de sommes (binome de newton).. [2] 19-11-08 à 23:15

Bonsoir, désolé j'ai un peu répondu vite, sans avoir vraiment trop compris. Je suis désolé!

Par contre, je ne comprends pas pourquoi on peut passer de \sum_{k=2}^n n(k-1)\(n-1\\k-1\) = \sum_{k=2}^n n(n-2)\(n-1\\k-2\)   ???

d'ailleurs, est-ce que l'on passe à k=2 car pour k=0, on a tout qui vaut 0?

Merci

Posté par
gui_toure : Calculs de sommes (binome de newton).. [2] 19-11-08 à 23:17

on fait un changement de variable

mais comme tu l'as écrit c'est faux, regarde l'indice de début de somme

Posté par
cailloux Correcteurre : Calculs de sommes (binome de newton).. [2] 19-11-08 à 23:24

Bonjour à tous,

Je m' immisce

Je ne suis pas sûr qu' il s' agisse d' un changement d' indice:

(k-1)\(n-1\\k-1\)=\frac{(k-1)(n-1)!}{(k-1)!(n-k)!}=\frac{(n-1)(n-2)!}{(k-2)!(n-k)!}=(n-1)\(n-2\\k-2\)

Posté par
marsmallowre : Calculs de sommes (binome de newton).. [2] 19-11-08 à 23:25

Jcomprends pas :s

Posté par
marsmallowre : Calculs de sommes (binome de newton).. [2] 19-11-08 à 23:46

Rebonsoir cailloux ,

désolé, je ne comprends pas pourquoi on passe de (k-1)(n-1)! / (k-1)!(n-k) ! à (n-1)(n-2)!/(k-2)!(n-k)! ?

et je ne comprends pas pourquoi cela donne n(n-1)2^n-2, c'est quoi la formule à utiliser ici?


Merci !!

Posté par
cailloux Correcteurre : Calculs de sommes (binome de newton).. [2] 20-11-08 à 10:40

Re,

En fait de formule, on utilise la définition de \(n\\k\)=\frac{n!}{k!(n-k)!}

Citation :
A=\sum_{k=2}^n [k(k-1)] \(n\\k\) + n2^{n-1}


Elle est utillisée une première fois ici en écrivant que:

k\(n\\k\)=k\,\frac{n!}{k!(n-k)!}=\frac{n!}{(k-1)!(n-k)!}=n\,\frac{(n-1)!}{(k-1)!(n-k)!}=n\(n-1\\k-1\)

ce qui donne:

Citation :
A=\sum_{k=2}^n [n(k-1)] \(n-1\\k-1\) + n2^{n-1}


Puis une seconde fois ici en écrivant de la même manière que:

(k-1)\(n-1\\k-1\)=(n-1)\(n-2\\k-2\)

ce qui donne:

Citation :
A=\sum_{k=2}^n [n(n-1)] \(n-2\\k-2\) + n2^{n-1}

Posté par
marsmallowre : Calculs de sommes (binome de newton).. [2] 20-11-08 à 17:32

Bonsoir, finalement je l'avais trouvé hier. merci tout de même, sinon comment parvenir à n2^(n-1)(2n-2+1) (ah et finalement pour parvenir à n2^(n-1) on utilise le binome de newton

Posté par
marsmallowre : Calculs de sommes (binome de newton).. [2] 20-11-08 à 17:33

enfin, ce que je ne comprends pas c'est pourquoi 2^n-1 x 2 = 2^n-2, c'est pas logique non? ca devrait donné 2^n..

Posté par
cailloux Correcteurre : Calculs de sommes (binome de newton).. [2] 20-11-08 à 17:47

La fin me semble fausse:

n(n-1)2^{n-2}+n2^{n-1}=n2^{n-2}(n-1+2)=n(n+1)2^{n-2}

Posté par
gui_toure : Calculs de sommes (binome de newton).. [2] 20-11-08 à 20:31

Salut cailloux

Désolé, je n'avais pas regardé en détail, je pensais qu'un changement d'indice ferait l'affaire

Posté par
marsmallowre : Calculs de sommes (binome de newton).. [2] 20-11-08 à 22:19

Merci !


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