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inverse d"une matrice triangulaire superieure

Posté par
downz 23-01-09 à 08:48

Bonjour !
Je cherche de l'aide pour régler une fin de question d'un exercice.
En effet je dois trouver l'inverse Z d"une matrice triangulaire superieure A.
et A =
| 1 ... ... 1 |
| 0  2 ... 2 |
| ... ... ... ... |
| 0 ... 0 n |

donc deja on peut dire que la matrice est inversible si det (A) 0 donc si 1*2*...*n0
ensuite on sait que l'inverse d'une matrice triangulaire superieure est une matrice triangulaire superieure aussi..
maintenant je bloque ici je n'arrive pas à trouver l'inverse
je sais qu'il y a la diagonale deja (inverse) mais je bloque pour la partie superieure
Si kkn pouvait m'aider svp

Posté par
downzre : inverse d"une matrice triangulaire superieure 23-01-09 à 09:54

pour la diagonale de la matrice jpense que sa devrait donner un truc comme ca :
1-1
     2-1
           ...
                3-1

mais il me manque ensuite toute la partie supérieure ..

Posté par
downzre : inverse d"une matrice triangulaire superieure 23-01-09 à 10:39

SVP quelqu'un pourrait m'aider ? ^^

Posté par
mascatere : inverse d"une matrice triangulaire superieure 23-01-09 à 10:49

bonjour
voilà qui peut peut-être t'aider
https://www.ilemaths.net/sujet-inverse-matrice-triangulaire-248365.html#msg2154101 - 1,3 ko

Posté par
downzre : inverse d"une matrice triangulaire superieure 23-01-09 à 10:59

bah pas trop en fait
d'apres l'énoncé faudrait d'aider des matrices triangulaire sup ainsi que les matrices diagonales pour trouver cette inverse ..mais jvais ptetre quelque chose mais jsuis vraiment pas sur de mon résultat en fait

Z =
| 1-1 -2-1 ... 1-1 |
| 0 2-1 ... 2-1 |
| ... ... ... -n-1 |
| 0 ... 0 n-1 |

vla mais jpense pas que ca marche ^^

Posté par
downzre : inverse d"une matrice triangulaire superieure 23-01-09 à 11:01

non c pas du tout sa apres vérification x)

Posté par
downzre : inverse d"une matrice triangulaire superieure 23-01-09 à 11:32

quelqu'un pourrait m'éclairer un peu plus ?svp ^^

Posté par
juju007re : inverse d"une matrice triangulaire superieure 23-01-09 à 11:55

Hello y a une formule A^{-1}=\frac{^tCom(A)}{detA}

Posté par
downzre : inverse d"une matrice triangulaire superieure 23-01-09 à 11:59

jpense pas avoir vu le "Com(A)"
le det (A) jlai vu personnellement dans un bouquin ainsi que la transposition
mais on a pas vraiment vu ca en cours encore ^^
mais merci de ton aide ^^
me manque juste la partie supérieure de la matrice inverse en fait a trouver ...

Posté par
juju007re : inverse d"une matrice triangulaire superieure 23-01-09 à 12:05

Ok. Il faut que t'écrives à coté de ta matrice, la matrice identité et faire des opérations sur les lignes ou colonnes pour que tu obtiennes la matrice identité à la place de A. J'imagine que tu as vu ça en cours

Posté par
downzre : inverse d"une matrice triangulaire superieure 23-01-09 à 12:08

ouai ca on l'a vu, mais est-ce que sa marche avec une matrice non finie cette technique ?

Posté par
downzre : inverse d"une matrice triangulaire superieure 23-01-09 à 12:14

le truc c'est que cette "technique" n'est pas vraiment utile là à mon avis vu que les sont différents entre chaque lignes ..
j'sais vraiment pas comment faire pour cette matrice

Posté par
Narhmre : inverse d"une matrice triangulaire superieure 23-01-09 à 12:28

Bonjour à tous,

Il faut que tu procèdes comme juju007 te le conseille.
En faisant des test sur des matrices simples 2x2,3x3,4x4 tu dois t'apercevoir que l'inverse de A=\begin{pmatrix}\lambda_1&\lambda_1&\cdots&\cdots&\lambda_1\\0&\lambda_2&\cdots&\cdots&\lambda_2\\0&\cdots&\cdots&\cdots&\lambda_3 \\0&\cdots& \cdots&\cdots& \lambda_4 \\ \vdots & \cdots &\cdots &\cdots & \vdots \\ 0&0&0&\cdots&\lambda_n \end{pmatrix}

semble être de la forme : A^{-1}=\begin{pmatrix}\fr{1}{\lambda_1}&-\fr{1}{\lambda_1}&0&0&\cdots&\cdots&\cdots&0\\0&\fr{1}{\lambda_2}&-\fr{1}{\lambda_2}&0&0&\cdots&\cdots&0\\0&0&0&\fr{1}{\lambda_3}&-\fr{1}{\lambda_3}&0&\cdots&0 \\0&\cdots& \cdots&\cdots& \cdots &\cdots &\cdots&0\\ \vdots & \cdots &\cdots &\cdots & \cdots&\cdots&\cdots&\vdots \\ 0&0&0&\cdots&\cdots&0&0&\fr{1}{\lambda_n} \end{pmatrix}


A toi de le montrer maintenant

Posté par
Narhmre : inverse d"une matrice triangulaire superieure 23-01-09 à 12:32

Mince, un petit décalage à faire juste au dessus de la diagonale...
Il faut lire :

Citation :
semble être de la forme : A^{-1}=\begin{pmatrix}\fr{1}{\lambda_1}&-\fr{1}{\lambda_2}&0&0&\cdots&\cdots&\cdots&0\\0&\fr{1}{\lambda_2}&-\fr{1}{\lambda_3}&0&0&\cdots&\cdots&0\\0&0&0&\fr{1}{\lambda_3}&-\fr{1}{\lambda_4}&0&\cdots&0 \\0&\cdots& \cdots&\cdots& \cdots &\cdots &\cdots&0\\ \vdots & \cdots &\cdots &\cdots & \cdots&\cdots&\fr{1}{\lambda_{n-1}}&-\fr{1}{\lambda_n}\\ 0&0&0&\cdots&\cdots&0&0&\fr{1}{\lambda_n} \end{pmatrix}


Excusez moi

Posté par
downzre : inverse d"une matrice triangulaire superieure 23-01-09 à 12:34

ok merci à vous jvais essayer dappliquer ca

Posté par
downzre : inverse d"une matrice triangulaire superieure 23-01-09 à 12:39

ok donc en fait pour le calculer pour le faire par étape avec plusieurs matrices carrés
jvais tester ca merci beaucoup ^^

Posté par
Narhmre : inverse d"une matrice triangulaire superieure 23-01-09 à 12:41

Le faire avec des petites matrices te donnent une idée de l'inverse de A.
Après il faut le montrer pour des matrices de toutes dimensions

Posté par
Camélia Correcteurre : inverse d"une matrice triangulaire superieure 23-01-09 à 14:32

Bonjour à tous

Dans ce cas, le plus simple est de se rappeler que si A est inversible et si X et Y sont deux vecteurs, AX=Y \Longleftrightarrow X=A^{-1}Y, ce qui revient à résoudre le système

\{\begin{array}{rcl}\lambda_1(x_1+...+x_n) &= & y_1\\ \lambda_2(x_2+...+x_n) & = & y_2\\ {} & \vdots &{} \\ \lambda_{n-1}(x_{n-1}+x_n) & = & y_{n-1}\\ \lambda_nx_n & = & y_n\end{array}


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