logo

Décomposition en facteurs irréductibles


licenceDécomposition en facteurs irréductibles

#msg2331755#msg2331755 Posté le 08-03-09 à 19:01
Posté par ProfilDcamd Dcamd

Bonsoir,

J'ai essayé de décomposer X16-2X8+1 en facteurs irréductibles.
Le polynôme dérivé est : 16X15-16X7
-1 est racine de P' et de P, c'est donc une racine double
1 est également une racine double
i et -i également

Comment poursuivre ?

Merci d'avance

David
re: Décomposition en facteurs irréductibles#msg2332176#msg2332176 Posté le 08-03-09 à 21:00
Posté par ProfilDarkSun DarkSun

Bonsoir Dcamd,

Ton polynôme X16-2X8+1 est égal à (X8-1)2.
Tu peux alors le décomposer de la façon suivante: ((X4-1)(X4+1))2
De la même façon tu peux décomposer (X4-1) et pour (X4+1) il s'agit de la même
technique mais en faisant apparaitre des nombres complexes (en l'occurence le complexe i ici)
ce qui te donne X4+1=(X2-i)(X2+i)
En décomposant ainsi de suite chaque terme que tu obtiens tu finiras par transformer ton polynôme
en un produit de facteurs irréductibles (et tu feras apparaitre les racines que tu as déjà trouvées).

J'espère avoir répondu à ta question
Publicité

re : Décomposition en facteurs irréductibles#msg2332661#msg2332661 Posté le 08-03-09 à 23:17
Posté par ProfilDcamd Dcamd

Oui, merci beaucoup ! Parce que j'avais essayé toutes les racines évidentes mais je commençais à ne plus trop savoir quoi faire.

Merci encore

Dcamd
re : Décomposition en facteurs irréductibles#msg2332674#msg2332674 Posté le 08-03-09 à 23:29
Posté par ProfilDcamd Dcamd

J'ai donc trouvé :

(X+1)²(X-1)²(X+i)²(X-i)²(X²+i)²(X²-i)²
re : Décomposition en facteurs irréductibles#msg2332727#msg2332727 Posté le 09-03-09 à 02:33
Posté par Profilapaugam apaugam

Attention sur\mathbb C     X^2+1 n'est pas irréductible

Il faut bien lire le texte
est-ce sur \mathbb Q , sur \mathbb R ou sur \mathbb C ?
re : Décomposition en facteurs irréductibles#msg2332769#msg2332769 Posté le 09-03-09 à 09:21
Posté par ProfilDcamd Dcamd

Sur et sur
C'est pour (X²+i) ? qui n'est pas irréductible sur ?
re : Décomposition en facteurs irréductibles#msg2332842#msg2332842 Posté le 09-03-09 à 11:44
Posté par Profilamauryxiv2 amauryxiv2

Sur , tous les polynomes sont réductibles, pour rappel ...
re : Décomposition en facteurs irréductibles#msg2333033#msg2333033 Posté le 09-03-09 à 15:14
Posté par ProfilCamélia Camélia Correcteur

Bonjour

Enfin, tous sauf ceux de degré 1!

Le plus simple est de remarquer que

X^8-1=(X-1)(X-e^{2i\pi/8})(X-e^{4i\pi/8})...(X-e^{14i\pi/8})
re : Décomposition en facteurs irréductibles#msg2335146#msg2335146 Posté le 10-03-09 à 23:01
Posté par ProfilDcamd Dcamd

Oui, juste le remarquer alors ...
On le voit comment ça ? Whow
re : Décomposition en facteurs irréductibles#msg2335224#msg2335224 Posté le 11-03-09 à 02:25
Posté par Profilapaugam apaugam

x^8=1=e^{2ik\pi} pour toute valeur entiere de k. Cela donne une seule valeur 1 pour x^8.
d'où
x=e^{\frac{2ik\pi}{8}} pour toute valeur entiere de k

pour obtenir les différentes  valeurs  de x on peut prendre k=0,1,...7
pour k=8 on retrouve la valeur pour k=0. On tourne en rond.
dessine les sur le cercle unité
les racines 8eme de l'unité découpent le cercle en 8 parts égales
re : Décomposition en facteurs irréductibles#msg2335225#msg2335225 Posté le 11-03-09 à 02:26
Posté par Profilapaugam apaugam

En plus sur le dessin on voit mieux les racines réelles et aussi les racines complexes conjuguées.
re : Décomposition en facteurs irréductibles#msg2336525#msg2336525 Posté le 11-03-09 à 21:11
Posté par ProfilDcamd Dcamd

Merci encore apaugam !!! J'ai compris

Répondre à ce sujet

réservé Seuls les membres peuvent poster sur le forum !

Vous devez être connecté pour poster
attention Un modérateur est susceptible de supprimer toute contribution qui ne serait pas en relation avec le thème de discussion abordé, la ligne éditoriale du site, ou qui serait contraire à la loi.

  • Ce topic

    imprimer Imprimer
    réduire la tailleRéduire   /   agrandir la tailleAgrandir

    Pour plus d'options, connection connectez vous !
  • Fiches de maths

    * algèbre en post-bac
    24 fiches de mathématiques sur "algèbre" en post-bac disponibles.


maths - prof de maths - cours particuliers haut de pagehaut Retrouvez cette page sur ilemaths l'île des mathématiques
© Tom_Pascal & Océane 2014