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nombres complexes : equation en z^n


maths supnombres complexes : equation en z^n

#msg2563221#msg2563221 Posté le 20-09-09 à 16:37
Posté par Profilbibibodou bibibodou

Bon exo de DM récalcitrant:
Questions
a dans 0,pi (exclus) z est dans C
1. resoudre dans C: z^2-2cosa * z+1 = 0
--> ca va, ca fait racine2* cos(a+-pi/4)
2. resoudre dans C : z^n = 1
--> ca va aussi, ca fait e^(i2kpi/n)
3. montrer que z^n -2cosa * z +1 = 0
bof bof
En posant A = z^n on retrouve le 1.
mais après ca ne donne pas z^n = 1 mais z^n = racine2 * cos(a+-pi/4)

et donc on se traine la racine nième de ce truc... ca doit pas etre bon...
Une idée?

4. resoudre l'équation ((z-1)^n/(z+1)^n)+(z+1)^n/(z-1)^n = 2 cos a
bon je pense qu'on passe par l'angle milieu...
re : nombres complexes : equation en z^n#msg2563369#msg2563369 Posté le 20-09-09 à 17:01
Posté par Profilverdurin verdurin

Bonjour.
Si j'ai bien lu la question 1. il s'agit de résoudre 3$z^2-2 z \cos(a)+1=0
Si c'est le cas ta réponse est fausse.
Il est facile de vérifier que 3$\text{e}^{i a} est une solution, et je te laisse le soin de trouver l'autre...
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re : nombres complexes : equation en z^n#msg2563430#msg2563430 Posté le 20-09-09 à 17:11
Posté par Profilbibibodou bibibodou

oui je viens de la voir en recopiant!! quel naze!!

ca donne e^îa ou e^-ia
et donc pour la suite ca va...
ca donne z = e^ia/n ou e^-ia/n
re : nombres complexes : equation en z^n#msg2563442#msg2563442 Posté le 20-09-09 à 17:13
Posté par Profilverdurin verdurin

je suis d'accord avec cette solution.
re : nombres complexes : equation en z^n#msg2563523#msg2563523 Posté le 20-09-09 à 17:24
Posté par Profilbibibodou bibibodou

oui et pour la suite l'angle moitié c'est pas intéressant !
on pose A = (z-1)/(z+1)
et on retombe au début
et on résout z
Merci pour le soutien!!

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