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Matrice d'une projection orthogonale


licenceMatrice d'une projection orthogonale

#msg3374402#msg3374402 Posté le 28-12-10 à 13:39
Posté par ProfilJau Jau

Bonjour,

Y a-t-il une méthode rapide pour trouver la matrice d'une projection orthogonale ?
Par exemple, on cherche la matrice dans la base canonique de R3 de p, la projection orthogonale sur le plan P d'équation x+2y-3z = 0.

J'ai commencé par calculer l'orthogonale de P : c'est la droite vectorielle portée par le vecteur u = (1,2,-3).
Ensuite je me suis intéressé aux coordonnées de p(e1) = a.e1 + b.e2 + c.e3 dans la base canonique, qui correspondent à la première colonne de la matrice.
Je suis parti de e1 = p(e1)+ku et j'en ai déduit un système de trois équations à quatre inconnues (a,b,c,k). J'ai rajouté l'équation qui caractérise le fait que p(e1) soit dans P (a+2b-3c = 0) et j'ai pu trouver k = 1/14.
Du coup je trouve sans soucis que a = 13/14, b = -2/14 et 3/14.
Par des calculs analogues j'ai trouvé les coordonnées de p(e2) et p(e3) dans la base canonique : (-2/14, 10/14, 6/14) et (3/14, 6/14, 11/14).

Dès lors j'ai ma matrice, qui a un joli 1/14 en facteur (d'ailleurs cette quantité correspond à l'inverse de la norme de u, un hasard ?). Bref c'était plutôt calculatoire comme méthode et je me demandais s'il n'y avait pas moyen d'aller plus vite.
re : Matrice d'une projection orthogonale#msg3376353#msg3376353 Posté le 29-12-10 à 00:17
Posté par ProfilGaBuZoMeu GaBuZoMeu

Bonsoir,

Moi je commencerais par calculer la matrice de la projection orthogonale \pi_u sur la droite engendrée par u, qui est  facile à obtenir en utilisant \pi_u(v)= \frac{v\cdot u}{||u||^2}\, u. Après, la projection sur P est  \mathrm{Id}-\pi_u.
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