Exercice Algebre Lineaire

Posté par maths31 maths31

Bonjours chers membres svp ya moyen d'avoir une correction de cet exercices je suis entrain de m'entrainer pour les examins et j'ai pas accès a internet. Donc je  vous demande svp si c'est possible d'avoir une correction de cet exercice pour que je puisse le consulté a ma prochaine connexion Merci d'avance

1) On concidere une famille de vecteurs dans ⁴:

v₁=(1,2,-1,-1)
v₂=(1,3,2,5)
v₃=(3,7,0,3)
v₄=(1,4,5,11)

a) Determiner une base de l'espace vectoriel E{v₁,...,v₄}engendré par la famille ci-dessus.
b)En déduire le rang de la famille.

2) Soit K[X]_n est un K-espace vectoriel.

a) Montrer que K[X]_n est un K-espace vectoriel.
b) Montrer que les polynomes 1,X,X²,...,Xⁿ forme une base de K[X]_n.
c) En deduire la dimenssion de K[X]_n

Posté par maths31 maths31

Une aide svp

Posté par Yota Yota

As-tu vu les determinants ?

Posté par maths31 maths31

les determinants résoudre un système d'équations linéaires oui

Posté par Yota Yota

Ah donc tu n'as pas vu leur lien avec le rang

Posté par sloreviv sloreviv

bonjour
d'abord v1 et v2 sont non colineaires ensuite tu fais des systeme deux inconues pour voir si v3 est cb de v1 v2 et tu recommences avec v4   or on trouve des solutionns

v3=2v1+v2
v4=-v1+2v2

donc rang??

Posté par maths31 maths31

Bonjours

Mais je vois pas comment tu trouve les 2 expressions v3=2v1+v2
v4=-v1+2v2

Posté par sloreviv sloreviv

tu resous av1+bv2=v3  or
v1=(1,2,-1,-1)
v2=(1,3,2,5)
v3=(3,7,0,3)
v4=(1,4,5,11)donc
a+b=3
2a+3b=7
-a+2b=0
-a+5b=3

donc
a=2b
3b=3
7b=1
3b=3

donc
b=1
a=2
v3=2v1+v2

tu recommences

a+b=1
2a+3b=4
-a+2b=5
-a+5b=11

a=1-b
2+b=4
-1+3b=5
-1+6b=11

b=2
a=-1
donc v4=-v1+2v2

Posté par sloreviv sloreviv

donc le rang est 2 : v1 et v2 lin independants et engendrent E{v1,...,v4}
basev1 ; v2 )

2)c) (n+1)

Posté par maths31 maths31

merci bcp je vient de comprendre j'ai feuilleté mon cours et j'ai refé les deux premiere questions j'ai eu du mal mais j'ai reussi =)
si non pour les autres questions j'ai pas vrement tout compris

Posté par sloreviv sloreviv

ben ...pour K[X] je prefererais passer la main car vu que sur le corps K on a peu de detail j'ai peur de dire des betises,
si K c'est R ou C c'est facile sinon..

Posté par maths31 maths31

Mais tu peux me donner la methode pour demontrer ke K[X] est un K ev

Posté par sloreviv sloreviv

c'est un K ev:
d'abord c'est un groupe pour +:
la somme de deux polynomes est un polynome( loi interne) ,
(P+Q)+R=P+(Q+R): +est associative ;
le polynome note 0 dont tous les coeff sont nuls est neutre pour l'addition
(-p)+p=0=p+(-p)
ensuite si tu prends k dans K
k*P est encore un polynome et tu as ttes les proprietes :
k*(k'*P)=(kk')*P
(k+k')*P=kP+k'P
k*(P+P')=k*P+k*P'
1*P=P