Bonjour,
J'étudie le corrigé d'une démonstration que l'on a faite en cours et je tombe sur la question du titre :
Montrer qu'une fonction contractante admet un unique point fixe f(a)=a.
Pour ce faire on a déterminé une suite u(n) convergente en a et telle que f(u(n))=u(n+1).
Ensuite, on a montré que :
Comme |u(n+1)-u(n)| = |f(u(n))-f(u(n-1)|
On a par définition de la fonction lipschitzienne.
|u(n+1)-u(n)| =< k|u(n)-(u(n-1))|
De là, on a dit qu'il y avait une récurrence à faire pour montrer que
|u(n+1)-u(n)| = |f(un)-u(n)| =< k^n|u(1)-u(0)|
Puis on a fait tendre n vers +inf pour en déduire le point fixe.
Mon problème se trouve dans la récurrence. On ne l'a pas faite pour ne pas perdre de temps, mais je n'arrive pas à la faire. Pourriez-vous m'aider ?
Merci par avance et bonnes vacances à ceux qui y sont déjà !
Bonjour vsa,
Montrons par récurrence que
Pour on a
Soit quelqconque fixé, on suppose que
On a car f est k-contractante
Donc par hypothèse de récurrence
Ainsi ce qui satisfait l'hypothèse de récurrence au rang
Conclusion:
Un exercice des plus classiques, à comprendre et savoir refaire en temps limité
Merci ! Notre prof nous a en effet prévenu que cette fonction tombait systématiquement aux concours. Mais là, je n'arrivais simplement pas à trouver le point de départ de la récurrence pour une raison que j'ignore .
Bonjour,
J'ai travaillé sur le même exercice ^^, et je ne sais pas comment prouver l'unicité du point fixe.
Pourriez vous m'aider ?
Merci d'avance
Bonjour,
Suppose que u et v sont deux points fixes distincts. Que peux-tu dire de la distance entre f(u) et f(v) ?
Bonjour,
Méthode classique, on va supposer qu'il existe deux points fixes distincts, et on va montrer qu'ils sont en réalité égaux.
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