Bonsoir, je bloque sur un exercice de maths, sur UNE seule question !

Je viens donc vous demander de l'aide, afin que je puisse enfin en finir avec ces barycentres !

Voici mon énoncé :
On considère 3 points de l'espace A,B et C non alignés et un réel m.
Gm bar {(A,m);(B;m²+3);(C;2m)}.
H bar {(A,1);(C,2)}.

1) J'ai justifié que Gm existe pour tout m.
2) j'ai démontré que A,B,C et Gm sont coplanaires.
3) J'ai identifié G0, il s'agit du point B.
4) On me demande une construction sur géogebra pour conjecturer l'ensemble decrit par Gm quand m décrit [-1;1]
Je conjecture que c'est un segment confondu à la droite (BH)
Soit m appartient [-1;1] :
5) J'ai démontré que Gm appartient à (BH).
b) Si m appartient à [0;1] Gm appartient à [BH]
c) Etude de variations de la fonction f(x) = (3x) / (x²+3x+3) pour x appartient [-1;1]
Elle est Croissante de -3 à 3/7.
d) Et la on me dit de démontrer ma conjecture et de determiner precisement l'ensemble trouvé.

Du coup je sais même pas si ma conjecture est bonne, alors Je me suis dit qu'il dire qu'on à

(x²+3x+3) vecteur(BGm) = 3mvecteur (BH)
Ainsi : vecteur (BGm) = 3m/(m²+3m+3) vecteur (BH)

On identifie la fonction dans le coefficient.
On résout f(x) = 0 , donc quand x = 0.
Lorsque x  > 0 , f(x) > 0 et l'ensemble Gm est le segment inclu dans le segment BH.
Lorsque x < 0, f(x) < 0 et l'ensemble Gm est le segment exclu du segment BH.

Ca me paraît faible comme explication d'ensemble ...

A l'aide SVP

Merci d'avance !