Niveau Master

Décomposition de Dunford

Posté par
hbcp 12-09-11 à 22:45

Bonjours à tous!
Voila j'ai un petit problème au niveau de la décomposition de Dunford : j'ai du mal à passer des sous espaces caractéristiques à la décomposition elle-même. Je manque un peu de théorie, j'ai un peu oublié... ^^
Voila le problème :
Soit
$A=\left( \begin{tabular}{c c c c} \\ 3 & -4 & 0& 2 \\ \\ 4& -5 &-2& 4 \\ \\ 0 & 0 & 3 & -2 \\ \\ 0& 0 & 2 & -1\\ \\ \end{tabular}\right) \\$

1)Polynome caractéristique? ---> $(X-1)^2(X+1)^2$

2)Sous-espaces propres ?-> $E_1=<(1,1,1,1)>$ et $E_{-1}=<(1,1,0,0)>$
Là dans mes souvenirs, puisque la dimension des sous espaces propres n'est pas égale au coefficient de multiplicité, ce n'est pas une matrice diagonalisable.)

3)Calculer $A^2$ ---> On a $A^2= \left( \begin{tabular}{c c c c} \\ -7 & 8 & 12& -12 \\ \\ -8& 9 & 12 & -12 \\ \\ 0 & 0 & 5 & -4 \\ \\ 0& 0 & 4 & -3\\ \\ \end{tabular}\right) \\$

4)Calculer les sous espaces caractéristiques associés à chaque valeur propre :
$N_1=ker((A-I)^2)=ker(A^2-2A+I)$ .
Puisque $(A^2-2A+I)= \left( \begin{tabular}{c c c c} \\ -12 & 16 & 12& -16 \\ \\ -16& 20 & 16 & -20 \\ \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ \\ 0& 0 & 0 & 0\\ \\ \end{tabular}\right) \\$
J'en conclus que $N_1=<(1,0,1,0);(0,1,0,1)>$

De la même façon, puisque $((A-I)^2)=\left( \begin{tabular}{c c c c} \\ 0 & 0 & 12& -8 \\ \\ 0& 0 & 8 & -4 \\ \\ 0 & 0 & 12 & -8 \\ \\ 0 & 0 & 8 & -4 \\ \\ \end{tabular}\right) \\$

J'en déduis que $N_{-1}=<(1,0,0,0),(0,1,0,0)>$
Puisque les dimensions sont égales à 2, ça doit être bon signe...

5)En déduire la décomposition de Dunford ---> Et là, c'est le drame.
J'imagine qu'il doit y avoir des histoires de restriction de l'application sur les espaces caractéristiques mais je n'ai jamais abordé la décomposition de Dunford par ce chemin...

On est jamais sure de rien mais j'ai esssayé de bien vérifier mes calculs pour vous faciliter la tache... J'espère ne pas avoir fait d'erreur grossière.
Merci d'avance.

Posté par re : Décomposition de Dunford 12-09-11 à 23:13

Même pas une indication, une petite référence... ?
Je reconnais que le pb n'est pas très attrayant...

Posté par re : Décomposition de Dunford 13-09-11 à 00:02

Bonjour,

Comme tes résultats sont bons, tu peux maintenant chercher une base $(e_1,e_2)$ de $\ker((A-I)^2)$ et une base $(e_3,e_4)$ de $\ker((A+I)^2)$ de telles sortes que la matrice de A dans la base $(e_1,e_2,e_3,e_4)$ soit de la forme :
$\begin{pmatrix}1&a&0&0\\0&1&0&0\\0&0&-1&b\\0&0&0&-1\end{pmatrix}$ .

Tu obtiens donc une matrice diagonale D=diag(1,1,-1,-1) et une matrice N nilpotente vérifiant :
¤ DN=ND
¤ A est semblable à D+N.

Posté par re : Décomposition de Dunford 13-09-11 à 01:02

Merci beaucoup pour cette réponse!
Une telle matrice est-elle due à l'inclusion des sous espaces propres dans l'espace propre caractéristique associé?
Comment justifier théoriquement que l'image de e2 est égale à e1+a*e2?Est-ce du au fait que les sous espaces caractéristiques sont en somme direct?
encore merci!
Bonne nuit!

Posté par re : Décomposition de Dunford 13-09-11 à 01:16

Oui, c'est plus ou moins ça.
Le lemme des noyaux te dit que la matrice peut s'écrire par blocs où les blocs correspondent aux sous espaces caractéristiques qui sont en sommes directes.

Ensuite, si $\lambda$ est une racine d'ordre $n_\lambda$ du polynome caractéristique alors on utilise la suite décroissante de sous espace vectoriel :
$\ker(A-\lambda)\subset \ker((A-\lambda)^2) \subset \cdots \subset \ker((A-\lambda)^{n_\lambda})$
Cela permet d'échelonner les blocs afin qu'ils soient du type $\begin{pmatrix}\lambda&a_1& 0 & 0 & 0\\ 0 & \lambda & a_2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & \ddots & \ddots & 0\\0 & 0 & 0 & \ddots & a_k\\ 0 & 0 & 0 & 0 & \lambda\end{pmatrix}$ .

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