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Calcul de sommes

Posté par
Mezame 15-01-12 à 19:42

Bonjour,

Dans le cadre d'un exercice, je dois calculer certaines sommes, cependant, je bloque très vite. :/
Je vous fournit donc l'énoncé :

Soit B_{n}(f)(x) = {\sum_{k=0}^n \binom{k}{n}f(\frac{k}{n})x^{k}(1-x)^{n-k}}
J'ai prouvé que la fonction f \rightarrow B_{n}(f) est linéaire de C([0,1],R) (ensemble des fonctions continues de [0,1] dans R) et qu'elle est également continue.

Ensuite, on me demande de calculer B_{n}(f) pour f : t \rightarrow 1, f : t \rightarrow t et f : t \rightarrow t^2.

J'ai réussi à le faire pour f : t \rightarrow 1 (je trouve un résultat égal à 1), mais je n'y parviens ni pour f : t \rightarrow t, ni pour f : t \rightarrow t^2. Je suppose que ces deux calculs nécessitent une méthode similaire.


Je vous serais donc très reconnaissant si vous acceptiez de me mettre sur la voie afin que je puisse réussir ces calculs-là.


En vous remerciant d'avance,




Mezame.

Posté par
veledare : Calcul de sommes 15-01-12 à 20:00

bonsoir,
pour le second cas tu peux transformer \frac{k}{n}(_k^n)

Posté par
Mezamere : Calcul de sommes 15-01-12 à 20:21

Merci !

J'obtiens alors :
B_{n}(t)(x) = {\sum_{k=0}^n {n \choose k} \frac{k}{n}x^{k}(1-x)^{n-k}}
= {\sum_{k=0}^n {n-1 \choose k-1} x^{k}(1-x)^{n-k}}
= {\sum_{k=0}^n {n \choose k} x^{k}(1-x)^{n-k}} - {\sum_{k=0}^n {n-1 \choose k} x^{k}(1-x)^{n-k}} (on utilise le fait que {n-1 \choose k-1} = {n \choose k} - {n-1 \choose k} et la linéarité de f \rightarrow B_{n}(f))
= 1 - {\sum_{k=0}^n {n-1 \choose k} f(\frac{k}{n})x^{k}(1-x)^{n-k}} (on utilise le binôme de Newton)
= 1 - {\sum_{k=0}^{n-1} {n-1 \choose k} f(\frac{k}{n})x^{k}(1-x)^{n-1-k}} + x^n (on sort le dernier terme de la somme pour pouvoir utiliser le binôme de Newton)
= 1 - 1 + x^n
= x^n

C'est bien cela ?

Posté par
Mezamere : Calcul de sommes 15-01-12 à 20:50

Euh... Je viens de me rendre compte d'une erreur. Il me semble qu'il est faux de dire que \binom {k}{n} \frac{k}{n} vaut \binom {k-1}{n-1}.
Je suis totalement perdu, là...
J'ai le droit à un petit peu d'aide, s'il vous plait ?

Posté par
Mezamere : Calcul de sommes 15-01-12 à 22:02

(J'ai finalement trouvé. )

Posté par
veledare : Calcul de sommes 15-01-12 à 23:03

S=\sum_{k=0}^n(_k^n)\frac{k}{n}x^k(1-x)^{n-k}=\sum_{k=1}^n(_{k-1}^{n-1})x^k(1-x)^{n-k} on peut commencer la somme à k=1 puisque k=0 donne un terme nul
on pose K=k-1
S=\sum_{K=0}^{n-1}(_K^{n-1})x^{K+1}(1-x)^{n-1-K}=x[x+(1-x)]^{n-1}=x
désolée ,je viens de voir que j'arrive trop tard mais c'est bien si tu as trouvé

Posté par
Mezamere : Calcul de sommes 17-01-12 à 00:35

Merci quand même pour votre aide !
D'autant plus que j'ai certes réussi mon calcul, mais la méthode que vous me proposez est différentes de celle que j'ai utilisais. En effet, je suis passé par une fonction F(x,y)=(x+1-y)^n que j'ai dérivé selon x, afin de pouvoir exprimer Bn(t) en fonction de la dérivée partielle (en fonction de x) de F(x,x).
(Et je dérive une seconde fois pour Bn(t²))

Posté par
veledare : Calcul de sommes 17-01-12 à 07:10

oui c'est une autre methode
bonne journée


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