Bonsoir, j'ai quelques petits problèmes pour finir un exercice sur [i] dont voici l'énoncé :

On rappelle que [i] est le sous anneau de engendré par 1 et i.
1) Montrer que [i] est isomorphe à [X]/(X²+1)
2) Pour tous z=a+ib on note N(z)=a²+b², on rappelle que N(z₁z₂)=N(z₁)N(z₂)
Montrer que z[i] est inversible si et seulement si N(z)=1
Quels sont les éléments inversibles de [i] ?
3) Montrer que [i] est principal
4) Soit z [i] tel que p=N(z) soit un nombre premier. Vérifiez que p n'est pas un élément irréductible de [i]
Montrez que z est un élément irréductible de [i].
5) Soit p un nombre premier et supposons qu'il n'existe aucun z [i] tel que N(z)=p. Montrer que p est irréductible dans [i]
6) On veut montrer que tous les éléments irréductibles de [i] sont de l'un des deux types précédents. Soit z=a+ib et supposons que N(z) n'est pas premier. Montrer qu'il existe un nombre premier p tel que z[i]=p. En déduire que N(z)=p². En déduire enfin que z=p, à multiplication par un inversible près.

J'ai réussi à faire les questions 1 2 et 3 par contre j'aurais besoin d'aide pour les 3 autres. Merci d'avance.