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couples de sous-espaces supplémentaires de R^R
Bonjour à tous,
J'ai un problème sur un exercice qui ma foi semble un peu tordu, où alors je n'emploie pas la bonne méthode. Bref, voila l'énoncé :
On note E RR muni de sa structure de R-ev
Soient a0, a1, a2 trois réels deux a deux distincts et F2 = {f dans E, f(a0)=f(a1)=f(a2) =0 } et G2 l'ensemble des applications polynomiales de R dans R de degré au plus 2
Montrer que F2 et G2 sont deux sev de E et qu'ils sont sont supplémentaires dans E
Généraliser alors le résultat
Bon montrer que F2 et G2 sont des sev de E, ce n'est pas la partie la plus dure
Pour la suite, j'ai essayé de faire une analyse synthese afin de trouver la forme de la fonction polynomiale
Soit h dans E
J'ai donc supposé l'existence de (f,g) dans F2 x G2 tel que
h= f + g
avec qqsoit x dans R, g(x) = 
x2 + 
x + 
J'ai ensuite évalué en a0, a1, a2, obtenu un systeme de 3 équations a 3 inconnues, et après pas mal de calcul, j'arrive à ça :
=
=
=
Je trouve ce résultat peu sympatique, et tres long à établir (j'ai fini au maple, trop marre de ces gros calculs). Je voudrais savoir tout d'abord si ces résultats sont justes, s'il n'y a pas une autre méthode plus rapide pour les établir, et enfin comment puis-je généraliser tout ca?
Merci d'avance =)
Bonjour
Pour calculer effectivement les polynômes de degré au plus deux prenant des valeurs imposées aux points prescrits, fais une recherche sur "polynômes d'interpolation de Lagrange".
Bonjour Camélia et d'abord merci pour ta réponse
D'apres ce que j'ai pu lire, il semblerait que mon polynome est en fait cette tete la :
Est-ce correct? C'est quand même tout de suite plus joli que mes formes barbares du départ..
Oui, c'est correct! mais à moins de s'appeler Lagrange, ou de connaitre déjà l'histoire, je ne vois pas comment tu aurais pu le trouver...
Bon, maintenant tu as écrit h=f+g, il te reste à justifier l'unicité.
On avait vu un exo en cours où on avait fait ca au degré 1 (on avait trouvé une fonction affine)
En bidouillant le résultat en sortant f(a0) et f(a1) on arrive au résultat
Sinon, avec mon analyse,je viens de prouver l'unicité sous réserve d'existence plutot
Il me reste a prouver l'existence en utilisant la forme de f que je viens de trouver
Sinon je pense qu'une autre rédaction serait plus appropriée (pour la généralisation)
1) on montre que ce sont des sev de R^R
2) on montre que Fn
Gn = {0}
Soit f
E
fFnGn => f polynomiale de degré au plus n-1, et f(a0)=..=f(an) = 0
On a donc une fonction polynomiale de degré au plus n-1 avec n racines
Donc f est la fonction nulle
3) soit h E
On note f définie 
x 
,
f(x) = 
(k=0 à n) h(ak)*
(i=0, i différent de k, à n)
et g = h-f
On a tout de suite h = f+g
f est de degré au plus n-1 donc f appartient a Fn
On évalue la relation précedente sur tous les ai, et il vient que g appartient à Gn
Donc R^R = Fn + Gn
avec 1) 2) 3) on a = Fn
Gn
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