Bonjour

Pas d'accord pour l'arccos

Ce que tu as écrit 1-x^2 /1+ x^2  peut se lire  deplusieurs façons.
Ce peut être 1 - x²(1 + x²) ou  (1 - x²)/(1 + x²) . (et même 1 - x²/1 + x² = 0 !)
Laquelle est la bonne ?

il s'agit de
(1 - x²)/(1 + x²)

mais je vais vous mettre les détails de ma dérivation pour l'arcos, car je ne comprend pas où j'ai pu faire l'erreur;
arcos( (1 - x²)/(1 + x²)) - 2 arctan(x)

d'abord c'est de la forme de  t(x)= h(x)+ k(x)
avec h(x)= arcos((1 - x²)/(1 + x²))
or h(x) est de la forme de gof dont la dérivée est f'* g'of.
f(x)= u/v= (1 - x²)/(1 + x²)
f'(x)= u'v-uv'/v<sup>[/sup]

d'où f'(x)= -2x(1 + x²)-(1 - x²)2x/ (1 + x²)[sup]</sup>
en développant on trouve
f'(x)=-2x-2x^3-2x+2x^3/(1 + x²)^{[/sup]
f'(x)= -4x/ ((1 - x²)/(1 + x²))[sup]}

la dérivée de g est la dérivée de l'arcosx= -1/(1-x<sup>[/sup])

h'(x)= f'(x)* g'(f(x))
h'(x)=-4x/ (1 + x²)^2* -1/(1-((1 - x²)/(1 + x²))
on voit une forme de a[sup]</sup>-b^{[/sup] qu'on transforme en (a+b)(a-b) pour simplifier avec le dénominateur de l'autre.
donc simplfions ce qui se passe sous la racine.
racine ( 1+x^2+1-x^2/1+x^2) (c'est a+b/c ac+b/c)
qu'on multiplie par racine(1+x^2-1+x^2/1+x^2) ( c'est a-b/c
ac-b/c)
on voit qu'on a (2/ 1+x[sup]})*((2x^{[/sup]/1+x[sup]})) ce qui donne 2x/(1 + x²)
et c'est là qu'effectivement, j'ai tellement été absorbé par mes calculs sur les racines que j'ai ai oublié où était les dénominateurs et numérateurs.

Donc on a -1/2x/(1 + x²)* -4x/(1 + x²)[sup][/sup] 2/x
en simplifiant en haut et en bas par (1 + x²)^2.

Bon alors est-ce que c'est bon?

zut je savais bien que sup ne pouvait pas marcher en gros vous remplacer sup par puissance 2.
En gros pour la dérivée de arcos j'ai trouvé 2/x

et comme la dérivée de -2arctan(x) c'est -2/1+x^2

On trouve pour la dérivée totale 2/x - 2/ (1+x^2)

en développant on a 2x^2-2x+ 2/ x(1+x^2)

donc après quand ils demandent:On donnera une expression simplifiée de la fonction suivant le signe de x avant ou après le calcul.

ça veut dire quoi au juste ?

sauf erreur , la dérivée de x Arcos( (1 - x²)/(1 + x²)) est x 2x/|x|(1 + x²) (car x² = |x|).

pourquoi valeur absolue de x forcément?

On n'a pas le choix. parce qu'une racine est positive.

Salut kybjm

oui mais de toute façon je n'arrive pas à trouver la même dérivée. Je n'arrive pas à trouver là où j'ai fait mon erreur de calcul, alors je vous l'expose en détail ici

Je calcule la dérivée de arcos[(1-x^2)/(1+x^2)] - 2 arctanx.

Calculons la dérivée de arcos[(1-x^2)/(1+x^2)] .

u/v=[(1-x^2)/(1+x^2)]  u'v-uv'/v^2      Donc  -2x-2x^3 -2x+2x^3/  ((1+x^2)^2
soit -4x/(1+x^2)^2
jusque là vous êtes d'accord?

après la dérivée de arcos c'est -1/ racine(1-x^2)

d'où
-4x/(1+x^2)^2 *  -1/ racine(1-([(1-x^2)/(1+x^2)]^2))
jusque là vous êtes d'accord? J'ai remplacé x^2 par  ([(1-x^2)/(1+x^2)]^2)).

Bon là ça va être le calcul, et c'est là que je ne trouve pas la même chose que les autres.

Je développe (1-x^2) ^2 en haut: 1-2x^2+ x^4 puis (1+x^2)^2 en bas: 1+ 2x^2+ x^4

donc en dessous de ma racine j'ai 1-[(1-2x^2+ x^4 )/1+ 2x^2+ x^4]
Je transforme 1 et multiplie en haut et en bas par 1+ 2x^2+ x^4.
ce qui donne[ 1+ 2x^2+ x^4-(1-2x^2+ x^4 )]/1+ 2x^2+ x^4
ce qui donne 4x^2/ (1+x^2)^2 j'ai remis en facteur

là vous êtes d'accord? (je dis ça à chaque fois, pour trouver une bonne fois pour toute là où j'ai fait mon erreur de calcul).

donc reprenons la dérivée dans sa globalité
on a -4x   /   (1+x^2)^2                  *    -1   / racine[ 4x^2/ (1+x^2)^2]

le signe est positif. donc on reprend les calculs sans le signe et on se débarrasse de la racine et on met (1+x^2)^2 au numérateur pour simplifier les calculs

4x/ (1+x^2)^2 *  (1+x^2)/ 2x

donc la dérivée de arcos(1-x^2/ 1+ x^2) est 2/ (1+ x^2)



après pour arctan on est d'ccord c'est -2/ 1+x^2

alors qu'en pensez vous? Où est l'erreur dans mes calculs?
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