logo

Reduction de Jordan


licenceReduction de Jordan

#msg4736668#msg4736668 Posté le 06-06-13 à 01:14
Posté par Profilhiryuu hiryuu

Bonjour j'ai un exercice dont je ne comprend pas la correction, je vais vous la refaire point par point et m'arrêter à celui qui me gêne.

Je veux trigonaliser la matrice A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & -4 \\ 0 & -1 & 6 \\ 0 & -1 & 4 \end{pmatrix}.

Tout d'abord le polynôme caractéristique : X_A(\lambda) = (1 - \lambda)^2 (2-\lambda).

Ensuite on sait que : \{0\} \subset \text{ker}(A-I) \subset \text{ker}(A-I)^2 au sens stricte de l'inclusion.  

Soit $u \in \text{ker}(A-I)^2 \backslash \text{ker}(A-I), et ensuite en posant v = (A-I)u$ on a $(A-I)v = (A-I)^2 u, bref v \in \text{ker}(A-I). Considérons un dernier vecteur qui est w \in \text{ker}(A-2I).

On va maintenant prouver que la famille (u,v,w) est libre. Soient \alpha, \beta, \gamma \in \mathbb{R}, si \alpha u + \beta v + \gamma w = 0 alors :

\alpha(A-I)^2 u + \beta (A-I)^2 v + \gamma (A-I)^2 w = 0, et comme u,v \in \text{ker}(A-I)^2 on en déduit dans ce cas que \gamma (A-I)^2 w = 0.

De plus  \R^3 = \text{ker}(A-2I)^2 \oplus \text{ker}(A-I)^2, et comme w \in \text{ker}(A-2I) alors (A-I)^2w \ne 0, ainsi \boxed{\gamma = 0}.

QUESTION :

Vous avez certainement remarquer que j'ai bien isolé la dernière phrase (avec l'éalité de supplémentarité) et bien c'est cette phrase que je ne comprends pas. En quoi cette égalité et le fait que w \in \text{ker}(A-2I) amène le résultat (A-I)^2w \ne 0 ?

Merci d'avance
re : Reduction de Jordan#msg4736670#msg4736670 Posté le 06-06-13 à 02:24
Posté par ProfilNarhm Narhm

Bonsoir,

Il s'agit, dans ton égalité de supplémentaire, de  \R^3 = \text{ker}(A-2I) \oplus \text{ker}(A-I)^2. Cette égalité vient directement du lemme des noyaux.

Ensuite, raisonne par l'absurde : si (A-I)^2w=0 alors w\in \ker(A-I)^2 et donc w\in \ker(A-I)^2\cap \ker(A-2I). Par l'égalité précédente, cet espace est réduit à \{0\}.
Le vecteur w était choisi (même si ce n'est pas précisé dans ton message) pour être un vecteur propre: en particulier non nul.
Publicité

re : Reduction de Jordan#msg4737241#msg4737241 Posté le 07-06-13 à 03:45
Posté par Profilhiryuu hiryuu

Ha oui quand même fallait y penser, c'est vrai que souvent l'absurde nous sauve la vie. Bon en tout cas j'ai compris   

Je vous remercies c'est super sympa d'avoir répondu, bonne soirée !

Répondre à ce sujet

réservé Seuls les membres peuvent poster sur le forum !

Vous devez être connecté pour poster
attention Un modérateur est susceptible de supprimer toute contribution qui ne serait pas en relation avec le thème de discussion abordé, la ligne éditoriale du site, ou qui serait contraire à la loi.

  • Ce topic

    imprimer Imprimer
    réduire la tailleRéduire   /   agrandir la tailleAgrandir

    Pour plus d'options, connection connectez vous !
  • Fiches de maths

    * algèbre en post-bac
    25 fiches de mathématiques sur "algèbre" en post-bac disponibles.


maths - prof de maths - cours particuliers haut de pagehaut Retrouvez cette page sur ilemaths l'île des mathématiques
© Tom_Pascal & Océane 2014