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Produit vectoriel défini par produit mixte
Bonjour,
Comme l'indique le titre je travaille sur un exercice concernant le produit vectoriel.
On se place dans un espace euclidien E de dimension 3, orienté.
En partant de :
z 
E, x,y deux vecteurs quelconques et (e) une b.o.n. directe (x
y.z)=det(e)(x,y,z)
z E et (e1, e2, e3) une b.o.n., z=
(z.ek)ek
il faut déterminer l'expression de chacune des coordonnées de xy
Merci d'avance pour toute aide apportée !
N'ayant pas trouvé la fonction éditer je précise ici qu'il faut déterminer l'expression de chacune des coordonnées de xy à l'aide de déterminants.
bonjour,
Je ne vois pas où est le problème !
Connaissant det (x,y,z) il suffit de l'écrire sous la forme z1A+z2B+z3C en mettant z1 en facteur là où il est présent , idem pour z2 et z3 donc x^y=(A,B,C)
Bonjour à vous 2 et merci pour votre attention 
Ce que vous me proposez est évident en effet mais n'utilise pas les 2 points que j'ai mis dans l'OP et ne donne pas non plus les expressions des coordonnées à l'aide de déterminants à moins que je sois vraiment à côté de la plaque...
Cette question a pour but de revenir à la définition x^y = sin(
)xy
avec le but de l'exercice étant de définir le produit vectoriel sans référence à l'angle et la norme. Cela me semble un peu facile de faire comme vous dites...
C'était trop évident en fait, je cherchais bien trop loin... Merci quand même !
Auriez vous une idée pour vérifier que l'on retrouve la formule x^y = sin()xy ?
Meldin
post 1/3
on peut effectivement avoir une formulation des composantes covariantes du produit vectoriel
en utilisant des determinants
et aussi pour le produit mixte
admettons que tes trois vecteurs x,y,z sont définies sur ta base canonique Id on notera les composantes contravariantes de ces trois vecteurs (et de plus on note la matrice dont les composantes définissent ta base e par rapport à la base canonique Id)
de même
de même
les indices en haut de ces composantes des vecteurs étants les indices contravariades de ceux ci sur la base e
par ailleurs on note la matrice réciproque de e selon
le t signifiant la transposée
on determine les composantes covariantes des trois vecteurs x,y,z par des indices en bas
de même
de même
alors notons le vecteur on obtiens
les composantes covariante de w par la differences des determinants suivants
excuse moi c'est un peu long je reviens (c'est long à écrire)
bon je reviens car sinon je terminerai jamais
post 2/3
je note det le determinant
on se place dans l'E.V.E. E3 (car il existe des produits vectoriels qui fonctionnent dans un espace vectoriel fini supérieur à 3) mais pour votre fil ici on est dans E3
donc là ce sont les composantes covariantes de ce produit vectoriel (pour avoir les composantes contravariantes tu as vu le principe au premier post
(c'est long à ecrire excuse moi je fait ça en plusieurs post)
bon à tout à l'heure pour le dernier post
et là on termine
post 3/3
on a obtenu le produit vectoriel par des différences de déterminants
en fait ici ce sont les composantes covariantes de ce produit vectoriel (tu determines les composantes contravariantes selon ce qui est dit au post 1/3
à présent on effectue le produit mixte
ATTENTION : je me répète on parle d'indices en haut ou en bas (donc rien à voir avec un exposant)
en haut ce sont les indices contravariants des vecteurs exprimés sur la base e et en bas ce sont les composantes covariantes des vecteurs exprimés sur la base e
bonne nuit Camarade
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