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Exercice
Svp aidez-moi a traiter les questions 2 et 3 de cet exercice.
EXERCICE :
Soit K un corps commutatif, K[X] l'ensemble des polynômes d'indéterminée X. Pour n∈N on note En=Kn [X]={P∈E /degP≤n}
Soit P∈E et degP=m ,m≥1 posons F={PQ / Q∈E}
1.Montrer que F est un sous espace vectoriel de E.
2.Montrer F et Em-1 sont supplémentaires dans E.
3.Déterminer E/F ; en donner une base.
Un indice : division euclidienne par
Tu n'as pas présenté , je suppose que c'est l'espace vectoriel
?
Ecris l'énoncé de la division euclidienne par , et tu verras pourquoi c'est utile : pour tout
, il existe un unique couple
tel que ...
Je pense qu'on doit montrer que :
-Dim E = dim F + dim En-1
-Pour tout P ∈ E, il existe Q ∈ F et R ∈ En-1 tel que P = Q + R.
Je me trompe ?
@JESKY
La première égalité sur les dimensions n'a pas de sens vu que et
ne sont pas de dimension finie.
Pour la deuxième propriété, tu introduis une confusion en utilisant qui désigne un polynôme déjà présent dans l'énoncé. Et tu ne reviens pas à la définition de sous-espaces supplémentaires dans
: pour tout
, il existe un unique
et un unique
tels que
.
Il suffit alors de revenir à la définition de pour reconnaître la division euclidienne.
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