Bonjour,
Soit M(x,y,z)d, soit M'(x',y',z') son projeté orthogonal.
A quel vecteur le vecteur MM' est il colinéaire?
déduit l'expression de x',y' et z' en fonction de x,y et z

Le principe : la droite n'est pas perpendiculaire au plan donc son image par la projection orthogonale sur  ce plan est une droite.
Tu choisis donc 2 points distincts A et B sur la droite (obtenus pour t = 0 et t = 1 par exemple)
Tu détermines une représentation paramétrique de la perpendiculaire au plan passant par A, puis le point d'intersection de et du plan tu as alors le point A' projeté orthogonal de A sur le plan
Tu recommences avec B, B' étant obtenu, la droite (A'B') est la droite projection orthogonale de (AB) sur le plan

salut

soit u un vecteur directeur de la droite D à projecter sur le plan qui est u(2,-1,3) ( la projection orthogonal de D sur P donne aussi une droite D'.
soit n le vecteur normal au plan P qui est n(2,-3,1).

alors on peut obtenir un vecteur directeur v de D', en ecrivant que  u = v + n et donc  v = n - u = (0,-2,-2).

il suffit ensuite de trouver un point d'intersection Q de D avec P en ecrivant que

2(3+2t)-3.(-t)+(-4+3t)= 12  ce qui donne t = 1  et donc en placant cette valeur de t dans les equations parametriques de D on obtient Q (5,-1,-1)

et donc l'equation paramtrique de D' est  x = 5 , y = -2t-1 , z = -2t-1   sauf erreur

Soit R(3+2t ; -t ; -4+3t) un point de d, la droite normale à p et passant par ce point a pour équation :

x - (3+2t) = 2 Lambda
y + t = -3 Lambda
z - (-4+3t) = Lambda

Elle perce le plan p en un point tel que 2*(2 Lambda + 3 + 2t) - 3.(-3 Lambda - t) + Lambda - 4 + 3t = 12

4 Lambda + 6 + 4t + 9 Lambda + 3t + Lambda - 4 + 3t = 12

14 Lambda + 10t = 10
t = (10 - 14 Lambda)/10

Les équations de la droite cherchée sont :

x - (3+2(10 - 14 Lambda)/10) = 2 Lambda
y + (10 - 14 Lambda)/10 = -3 Lambda
z - (-4+3.(10 - 14 Lambda)/10) = Lambda

x - 5 = -0,8 Lambda
y + 1 = -1,6 Lambda
z + 1 = -3,2 Lambda

Aux erreurs de calculs près.

Je comprend un peu mieux ! Je pense que la méthode de @Cherchell est plus adapté au cours
Merci à vous !