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ensembles supplémentaires
bonjours a tous,
on me donne l'exercice suivant
On note et tr l'application trace.
1. Montrer que F = { M appartennant a E, tr(M) = 0 } est un sous-espace vectoriel de E:
L'ensemble f={ M appartenant a E, det(M) = 0 } est-il aussi est un sous-espace vectoriel de E ?
2. Montrer que F ET sont supplementaires dans E:
pour la question 1 pas de soucis
en revanche pour montrer que F est vect de In sont supplémentaire dans E j'ai du mal ce n'est pas la definition de deux ensemble supplémentaire qui me pose problème mais plutôt c'est le fait qu'ici on travail avec des matrice cela me perturbe un peu pouvez vous me donnez des piste
merci d'avance
Bonjour, je pense que l'intersection ne pose pas de problème.
Pour la somme, pour toute matrice M, tu peux considérer la matrice (tr(M)/n)In
VectIn...
Bonjour,
Si on appelle , quelles sont les dimensions des sous-espaces vectoriels
et
?
Ensuite, si tu reprends la caractérisation de deux espaces vectoriels supplémentaires, à quelles conditions nécessaires et suffisantes a-t-on alors ?
bonjour je réponds a vos question merci pour les conseils et pistes
dim(D)=1 dim(F)= n ?
les condition nécessaire et suffisante sont que E=F+D et que l'intersection de F et de D est l'ensemble vide
Non, la dimension de n'est certainement pas
et non, l'intersection d'au moins deux sous-espaces vectoriels ne peut être vide.
Quelle est la dimension de ?
Que dire de l'application et donc de la dimension de son noyau ?
merci en effet c'est l'intersection qui est nulle et non pas égale a l'ensemble vite je suis allé trop vite
Mn(R) est de dimension n ou je me trompe ?
l'application trace est injective ?
la dimension de son noyau est la même que celle de Mn(R) ?
Bon, tu peux me donner une base concrète de par hasard ?
Non l'application trace n'est pas injective, par exemple si est la matrice ayant des 1 partout sauf sur sa diagonale où il y a des 0 alors sa trace vaut 0 sans que M soit la matrice nulle.
L'application trace est une forme linéaire, que dire alors du noyau d'une forme linéaire ? Sa dimension ?
Bonjour
J'ai lu ce topic, essentiellement parce que son titre m'a fait bondir!
Nahrm et weierstrass ont bien avancé l'histoire. Alors réponses à ton dernier post:
Non, n'est pas de dimension
dès que
Te rends-tu compte que tes deux dernières questions signifient Est-ce que trace est injective et est-elle égale à l'application nulle? Etonnant, non?
Alors: es-tu capable de trouver deux matrices distinctes ayant la même trace? Une matrice de trace non nulle? Tu auras déjà les réponses à tes questions.
merci pour les réponses cela m'aide beaucoup pour répondre a Nahrm je pense savoir qu'une forme linéaire
si elle est non nulle est surjective est que son noyau est un hyperplan de E
Salut Camélia 
Ok, donc maintenant, retourne voir ton cours et donne nous une jolie base de afin d'obtenir sa bonne dimension et on touchera presque au but.
ok et bien merci ! des rappels de ce genre cela ne fait pas de mal
L'espace vectoriel Mn(R) est de type fini et sa dimension est égale à n*n=n²
Oui et tu vois une base de ?
Ce qui vient d'être dit montre que est un hyperplan de
donc on connait maintenant sa dimension.
Pour montrer que , il suffit (cours) de vérifier que :
(i)
et
(ii) .
On vient de vérifier (i), reste à montrer (ii).
ok merci camelia je ferai attention la prochaine fois et j'éviterai cette confusion merci Narhm oui en effet j'avais marquer cela précédemment
pour être sur dim(F)=n²-1 c'est bien ça ?
pour montrer ii) c'est peut être succinct mais si on prend M une matrice qui appartient a F et a D
cette matrice est de maniere evidente la matrice nulle uniquement ?
pour être sur dim(F)=n²-1 c'est bien ça ?
Oui c'est ça et tout bêtement une application du théorème du rang.
pour montrer ii) c'est peut être succinct mais si on prend M une matrice qui appartient a F et a D
cette matrice est de maniere evidente la matrice nulle uniquement ?
Si c'est évident, tu dois pouvoir l'expliquer ?
dsl je sèche vraiment seul la matrice nulle me parait pertinente de surcroît cela répond a une des conditions de d'espaces supplémentaire
Effectivement, c'est ce qu'on veut montrer mais il faut tout de même donner des arguments.
Par définition, que signifie ?
dsl pour le temps de réponse
M appartient a vect(In) sil elle s'écrit comme combinaison linéaire de In
soit B La matrice nulle B=0*In ainsi B appartient a vect(In)
Attention, tu veux montrer que et non l'inverse qui est trivial.
Donc si , cela signifie que
avec
et ...
...je te laisse continuer
ok merci du coup de main en effet dans l'autre sens c'était trivial lol
je pense qu'on est bon encore merci
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