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Algèbre linéaire. s.e.v
Bonjour à tous et à toutes.
Alors voilà, j'ai un exo d'algèbre linéaire à résoudre, le seul problème, c'est que JE N'Y COMPRENDS RIEN!
Je cherche, mais je ne vois pas dans quelle direction je dois aller. que dois-je faire?
Bref, voici le problème :
a) Soit f un endomorphisme d'un 
-espace-vectoriel E.
Soit 
un réel fixé
Démontrez que:
E= {
E/ f()=} est un sous-espace-vectoriel de E
Cette question me parait tellement ÉVIDENTE que je n'ai pas la moindre idée de quelle façon je dois démontrer. 
b) On se place dans E=².
Soit s la symétrie:
s: (x,y)²
(y,x).
Montrez que s admet -1 et 1 comme valeurs propres et déterminez les sous-espaces propres E1 et E2.
J'ai regardé quelques vidéos et lu quelques définitions, (soit dit en passant, TOUTES PLUS INCOMPRÉHENSIBLES LES UNES QUE LES AUTRES), mais je ne vois pas vraiment ce que je dois faire.
Pour la b) j'ai simplement écrit:
x=y
y=x
ceci est un système linéaire à deux équations qui équivaut à
x-y=0
-x+y=0
On a alors, sous forme matriciel:
1-1 x = 0
-1 1 y 0
Et ensuite, je ne sais vraiment quoi faire. Éclairez-moi s'il vous plait.
les colonnes d'une matrice d'application linéaire sont les images des vecteurs de base
Si l'on prend comme base le couple ((1,0), (0,1))
Oui, j'ai compris pour la matrice de s (je suis vraiment très lent à la réaction). Mais ensuite, j'en fais qui de cette matrice?
Soit J la matrice concernée
Une valeur propre est un nombre non nul qui vérifie
J(x,y) = (x,y)
Soit
(y,x)=(x,y)
Donc il est nécessaire que soit son propre inverse ....
Merci,
Mais je partais du principe qu'il fallait appliquer det(J-I2X) pour ensuite trouver le polynôme caractéristique dont les racines seraient les valeurs principales.
Il faut encore argumenter pour dire pourquoi 1 et -1 sont valeurs propres et non pas seulement 1 ou -1
(en ce cas f serait une homothétie...)
Bonjour
la matrice n'a aucune utilité ici.
la première question définit le sous espace propre après avoir fait établir que c'est bien un sous espace (l'as-tu fait, finalement ? vois-tu en quoi reconnaître dans un "Ker" répond à la question ?)
pour montrer que 1 et -1 sont bien des valeurs propres, tu as UNE chose à faire : vérifier que et
contiennent autre chose que le vecteur nul
Ne me dis pas que tu es incapable de trouver une solution autre que (0,0) aux équations (x,y)=(y,x) et (x,y) = -(y,x)
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