ok alors le problème est :

On note φ l'isométrie dont M est la matrice dans la base canonique.
1/ Montrer que φ(c1) = φ−1(c1).
2/ Montrer que le plan Π = Vect(c1, φ(c1))est stable par φ.
3/ Quelles sont les natures des restrictions ψ et η de φ à Π et Π⊥ ?
4/ Donner la forme standard Ms de la matrice de φ, et la calculer.
5/ Donner une base B dans laquelle la matrice de φ est Ms.

le corrigé est :

1/ La première colonne de M donne φ(c1) = 1/13(−5, 8, 8, 4). La matrice de φ−1 est MT car M est orthogonale. Donc φ−1(c1) est donné par la première ligne de M, qui est bien égale à la première colonne.

2/ En composant avec φ on déduit de 1/ que c1 = φ2(c1) soit φ(φ(c1))= c1. Donc c1 et φ(c1) sont échangés par φ. Ils engendrent un plan invariant par φ.

3/ − D'après 1/ et 2/, ψ2(c1) = c1 et ψ2(ψ(c1))= ψ(c1). Donc ψ est un symétrie. Ce n'est pas unesymétrie centrale par ψ(c1) −c1. Donc c1 + ψ(c1) engendre l'axe de ψ et c1−ψ(c1) engendre la direction de Π orthogonale à l'axe.
− Pour η on a Trφ = Trψ+Trη soit10/13= 0+Trη. Donc η est une rotation d'angle θ tel que cos θ =5/13

5/ D'après 3/ E1 = Vect(c1 + φ(c1))= Vect(8, 8, 8, 4) = Vect(2, 2, 2, 1)
. En normalisant onobtient e1 =1/√13(2, 2, 2, 1).De même E−1 = Vect(c1 −φ(c1))= Vect(18, −8, −8, −4) = Vect(9, −4, −4, −2)
. En normalisanton obtient e2 =1/3√13(9, −4, −4, −2).
Comme η est une rotation, n'importe quelle base orthonormée de Π⊥ donne {e3, e4} à l'ordre près. Soit
v = (x, y, z, t), alors v ∈ Π⊥ ssi v·c1 = 0 et v·φ(c1) = 0 soit x = 0 et 8y+8z+4t = 0 soit 2y+2z+t = 0.On peut essayer e3 =1/3(0, 2, −1, −2) et e4 =1/3(0, −1, 2, −2).



Pour la 5/  le corrigé dit que les vecteurs propres forment cette base B et je ne comprend pas pourquoi

la matrice Ms :

merci



_{***lafol > comme tu as recopié ton énoncé, j'ai supprimé le rappel au règlement de jeveuxbientaider, pour re-"rougir" ton topic, tu auras plus facilement des réponses.
tâche de penser à recopier ton exercice dès le premier post, la prochaine fois}

bonjour (je sais que Robot va encore venir dire que je polue le topic -ce qui est faux car pour l'autre exo son enoncé est mal formulé il dit qui est d mais il le dit pas au bon endroit )

alors pour ci je cite

Bonjour !
Je pense qu'il y a un raccourci non écrit car les colonnes de ne sont pas des vecteurs propres réels de .
Si on veut absolument une base de vecteurs propres il faut passer aux complexes mais c'est un tout autre problème.

Ton raisonnement (mais je n'ai pas vérifié ton calcul de ) pour me semble correct et tu as bien la forme réduite cherchée.
Conclusion : vérifies (il suffit de vérifier que c'est une base orthonormée de ) pour les images et tu as une base où la matrice est . Mais ce n'est pas une base de vecteurs propres, qui n'existe pas pour l'espace réel).

camarade amethyste, ouvre les yeux : la matrice est donnée en fin de post !

merci des réponses mais je voulais comprendre le raisonnement pour la question 5/ . amethyste  je ne comprend pas bien comment verifier  Ms =B-1 φ(M) car la question est de trouver B.
LUZAK : c1 + ψ(c1) et c1 - ψ(c1) sont les vecteurs propres des restriction ψ et η me semble t il ? je veux tout simplement comprendre pourquoi ils forment  la base B

Tu as deux droites vectorielles (espaces propres associés aux valeurs propres distinctes 1 et -1) et un plan stable (orthogonal du plan engendré par tes vecteurs propres) formant somme directe. En réunissant les bases de ces sous espaces tu obtiens une base de l'espace.

merci , donc les vecteurs propres de  Π et ceux de la base du plan stable  Π⊥ forment B mais je ne comprend pas bien d ou vient la relation entre Ms et les vecteurs de B : Ms =B^-1 φ(M). existe il d autres relations entre Ms et B ?

Bonsoir !
Je ne comprends pas ta question car j'ai cru comprendre que désignait une base, pas une matrice. Je ne vois pas non plus ce que signifie : est une application linéaire et une matrice.

Peut-être cherches-tu la matrice de passage entre la base canonique et : tout simplement les colonnes de sont formées des coefficients de tes vecteurs .
En calculant tu aurais .

EN effet B est une base  mais je n ai juste pas compris la relation d amethyste.

Y aurait-il un théoréme  donnant les vecteurs d 'une nouvelle base dans laquelle on a une nouvelle matrice d isometrie a été déterminée car je n ai pas très bien compris sur quels lois repose la reponse 5/ .