salut à tous
quelquun a til un exemple d'une fonction continue par morceaux mais non continue svp?
(cest pour m'aider à visualiser la difference entre ces 2 notions)
merci
la fonction en escalier n'est pas continue par morceaux n'est ce pas?
car non prolongeable par continuité sur les extremités,
c'est bien cela?
Quelle est ta définition d'une fonction continue par morceaux ?
Pour ma part, je dirais que la fonction égale à -1 sur ]-oo;0] et +1 sur ]0;+oo[ est continue par morceaux, et non continue.
bonjour à tous
et tout simplement y=1/x ? ça marche aussi ?
Philoux
je ne comprends pas.
comment que 1/x peut etre continue par morceaux alors qu'en 0 on ne peut pas la prolonger par continuité???
dans ce cas nimporte quelle fonction est continue par morceaux non?
Je t'avoue que je ne comprends pas.
Si on parle de prolongement par continuité en un point, c'est que la fonction n'est initialement pas définie en ce point, non ?
Proposition de définition :
Soit D le domaine de définition de f
Soit {D1, D2...Di...} (liste finie ou dénombrable) une partition D en segments Di disjoints ; les Di sont donc de la forme (ai,bi), ouverts ou fermés d'un côté ou de l'autre.
Alors je dirais que f est continue par morceaux si elle est continue sur tous les "intérieur de Di", soit tous les ]ai,bi[.
Bonjour a tous,
Je pense que les definitions sont en fait les memes, mais le document reference par Nicolas_75 est a mon sens plus precis (dans le deuxieme, on ne voit pas bien ce que sont les fi) (et je ne dis pas ca seulement parce que l'auteur du document est mon ancien professeur... )
Donc "on peut prolonger la fonction aux endroits ou elle n'est pas continue"... Moui. En gros... Attention cependant: ce n'est pas la fonction en entier que l'on prolonge, seulement sa restriction sur le segment ouvert considere (et on oublie le reste...).
Une fonction en escalier est donc l'exemple typique de fonction continue par morceaux (non continue sur l'intervalle entier en general, sauf cas particulier).
Dans la definition de LeHibou, il manque la possibilite de prolonger les fi... C'est capital, car ca permet de definir l'integrale (au sens usuel).
A+
biondo
Ben c'est parce qu'elle ne l'est pas...
Qui a dit qu'elle l'était ? La fonction est définie sur quel intervalle dans ton affirmation ?
et bien le fait de dire que 1/x est continue par morceau, ca veut bien dire que 1/x est prolongeable en 0 non?
mais x --> 1/x n'est pas continue par morceaux (justement parce qu'on ne peut pas la prolonger)
Je ne suis pas d'accord avec toi biondo. Je prends deux morceaux ]-oo;0[ et ]0;+oo[; x->1/x est bien continue sur chaque morceau, non ?
Oui. elle est continue sur chacun des deux morceaux ouverts.
mais elle n'est pas "continue par morceaux" (car la definition impose en plus a chaque restriction de la fonction d'etre prolongeable sur chaque morceau ferme).
bah oui cest ce que je pense aussi mais lorsque philoux à proposé cet exemple je lui ai repondu comme quoi je trouvais ca bizarre et c'est resté comme ca sans que ce soit corrigé, du coup je pensais que les autres intervenants etaient daccord avec lexemple de philoux.
Mais enfin l'exemple de philoux marche 1/x est continue par morceaux mais n'est pas continue.
Bon j'ai rien dit. Je pars m'enterré vivant.
mais on ne peut pas la prolonger par continuité du coté de 0.
pourquoi tu dis que elle est continue par morceau?
je ne comprends vraiment pas
J'ai l'impression que personne ne lit ce que j'ecris...
Pour resumer:
Continue sur chaque morceau ouvert (qui correspond litteralement a ce que ca veut dire)
n'est pas la meme chose que
Continue par morceaux (qui repond a une definition precise)
Pour répondre à Biono, la prolongation aux points de discontinuité n'est pas essentielle pour définir l'intégrale.
Par exemple, on peut considérer f:
f(x) = 0 sur [0,1[
f(1) = 1/2
f(x) = 0 sur ]1,2]
F est parfaitement intégrable au sens de Riemann sur [0,1], et cette intégrale vaut 0, ainsi que sur [1,2], et cette intégrale vaut 1.
En général, l'existence de points de discontinuité topologiquement isolés sur le domaine de définition d'une fonction continue par ailleurs n'est pas un problème pour la construction de l'intégrale de Riemann. D'ailleurs, une des définitions de l'intégrale de Riemann est précisément faite à partir des fonctions en escalier, et rien dans cette définition n'est imposé pour la valeur de la fonction aux abscisses des changements de marche.
Merci pour vos explications
Tu remarqueras, ahahah, que j'avais mis des points d'interrogations (2 ? d'ailleurs) à mon post.
Je viens seulement de comprendre, avec l'explication de biondo, pourquoi elle ne l'est pas...
Philoux
>LeHibou
Je n'ai sans doute pas ete assez clair dans ce que j'ai ecrit, je le reconnais. Neanmoins...
Si on se contente de points de discontinuite topologiquement isoles (berk), que faire de:
f(x) = 1/(1-x) sur [0,1[
f(1) = 1
f(x) = 0 sur ]1,2]
Valeur de l'integrale????
Cela dit, je suis d'accord sur le fait que les points isoles, pour lesquels la valeur de la fonction est sans importance, sont autorises. Mais la possibilite de prolonger est essentielle...
Dans ton exemple on peut prolonger chacun des morceaux (fi continue sur le ferme, telle que sa restriciton a l'ouvert coincide avec f sur l'ouvert), et il verifie donc la definition.
C'est vrai et moins vrai. Par exemple, 1/x pose problème en 0,comme tu le signales fort justement, mais pas 1/racine(x) qui s'intègre très bien par extension de l'intégrale de Riemann par passage à la limite. Or 1/racine(x) n'est pas plus prolongeable en 0 que 1/x. Donc la prolongeabilité en un point de discontinuité ne me semble pas être une condition nécessaire d'intégrabilité en ce point, du moins si on admet d'utiliser l'intégrale de Riemann généralisée.
Pour compléter le contre-exemple, soit
f = 1/racine(abs(x))
Alors f est
- définie sur [-1,1] / {0}
- continue par morceaux sur [1,0[ et ]0,1]
- pas prolongeable en 0
- intégrable au sens de Riemann généralisé sur [-1,1]
Je crois qu'on s'eloigne un peu...
J'ai dit que "continue par morceaux" repondait a une definition precise (et 1/racine(x) n'y repond pas - enfin bon, ca depend de l'intervalle considere bien sur). Et que cette definition permettait de construire l'intergale de Riemann. Ensuite, effectivement, on peut generaliser l'integrale, mais tu reconnais toi-meme que c'est une "extension par passage a la limite".
Je n'ai pas pretendu que la prolongeabilite etait necessaire, j'ai dit qu'elle etait "essentielle" (sous-entendu, pour la construction usuelle progressive que l'on fait de l'integrale - d'abord sur les fonctions en escalier, puis sur les fonctions continues par morceaux, sur lesquelles le debat portait).
Je vois a l'instant ton message de 15:46.
Et je ne suis pas d'accord. La fonction n'est pas continue par morceaux sur [-1,0[, ni sur ]0,1] (ensemble ou separement).
Je persiste: une fonction f continue par morceaux est telle qu'il existe une subdivision S = (Si), i de 1 a n, telle que f soit continue sur chaucn des ouverts ]Si-1,Si[, et admette des limites aux bords.
C'est une definition, on n'y peut rien.
(source: mon cours, le doc cite par Nicolas_75 en debut de fil, les mathematiques.net, etc...).
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