demo calcul de volume avec integrales

Posté par franz2b franz2b

une question tres simple et tres chi**te:
rappeler la formule de calcul d'un volume a l'aide du calcul intégral:
(pas de soucis: c'est l'integral de la surface du solide délimitée ....)
-Quelle demo peut on donner de ce resultat?-
Et la, c'est le drame! (alors que je suis sur que c'est si simple! lol)
si vous avez une reponse avant le 6 avril: sauvez moi la vie!

Posté par franz2b franz2b

une question tres simple et tres chi**te:
rappeler la formule de calcul d'un volume a l'aide du calcul intégral:
(pas de soucis: c'est l'integral de la surface du solide délimitée ....)
-Quelle demo peut on donner de ce resultat?-
Et la, c'est le drame! (alors que je suis sur que c'est si simple! lol)
si vous avez une reponse avant le 6 avril: sauvez moi la vie!

*** message déplacé ***

Posté par littleguy littleguy

Bonjour

Grosso modo :

Repère orthonormal, solide (S) qu'on découpe par des plans parallèles au plan (xoy). A(z) l'aire de l'intersection par le plan de cote z (A continue) et (S) est engendré par par cette intersection quand z varie de a à b (avec a < b)

Soit V(z) le volume de la partie de (S) située au-dessous du plan de cote z. On fait subir à z un "accroissement" de h :

- si h > 0 l'accroissement de volume V(z+h)-V(z) est compris entre les volumes de deux cylindres élémentaires :

A_m(h)h et A_M(h)h , où A_m(h) et A_M(h) sont la plus petite et la plus grande des valeurs de A sur [z;z+h]

autrement dit :
A_m(h)h V(z+h)-V(z) A_M(h)h

- si h < 0 on a de même :

A_m(-h)h V(z)-V(z+h) A_M(-h)h

Donc dans les deux cas on obtient :



Lorsque h tend vers zéro, A_m et A_M tendent vers A(z)

donc V'(z) = A(z).

V est donc une primitive de f sur [a,b]

et on arrive à

En espérant que cela pourra t'aider.

A approfondir

Posté par folanita (invité)

V=[b ]integrale[a]xf²(x)dx

Posté par folanita (invité)

V = de a à b de x[f(x)]²dx

Posté par franz2b franz2b

Merci bcp pour votre aide
little guy ta demo est tres bonne, seulement juste un petit detail (de pacotille) me gene; je ne capte pas pourquoi:
~ Quand h->0 Am(h)->Am(z)   (idem pour AM)
~ le volume elementaire est Am(h).h , c'est le produit de l'aire par la hauteur donc un volume, ok; mais pourquoi Am est en foncton de h?

En esperant une reponse rapide je vous dis encore merci bcp pour cette aide tres appreciable
ps: petite erreur a la fin little guy:
V(Solide entre z=b et z=a)=integrale(A(z).dz, de a à b)

Posté par littleguy littleguy

Désolé pour la coquille à la fin (j'ai pensé surface par abus de langage et tapé S au lieu de A)

"...où Am(h) et AM(h) sont la plus petite et la plus grande des valeurs de A sur [z;z+h]"

donc ces deux aires sont par définition-même fonctions de h.
et A est continue (je l'ai supposé au début) donc lorsque h tend vers zéro A(z+h) tend vers A(z) ; en fait à ce niveau de la démonstration z est fixé, h varie.

Mais ma démo manque certainement de rigueur.

Posté par franz2b franz2b

en fait, il fo faire un encadrement comme ceci:

          f1(h)<(V(z+h)-V(z))/h<f2(h)

on fait tendre h->0 et on obtient que la derivée du volume c'est une aire mais pour ca il faut que:
           lim(f1(h))=lim(f2(h))=A(z) pour h->0

or je me demande comment la limite de Am(h) (et AM(h)) devient A(z)!

help

Posté par franz2b franz2b

ok ben je vous donnerai la reponse demain une fois que je me serai fait eclater, lol!
en gros c une demo a la Riemann mais c dommage car je n'etais pas loin!
j'aurai du m'y prendre + tot (comme d'hab)
A+

Posté par franz2b franz2b

Ok c bon je pense avoir trouver l'explication:

Apres avoir trouvé l'encadrement:
               A_m < (V(z+h)-V(z))/h < A_M

on fait tendre h->0 ce qui donne:
                    A(z) < V'(z) < A(z)  ie  A(z)=V'(z)

Pourkoi?
Car A_M et A_m, les aires max et min, sont définies comme la plus grande (petite) surface donnée par l'ensemble des intersections du solide et des plans.

donc  entre z=z et z=z+h il y a une infinité de plans qui coupent le solide.

Or si h->0 il ne restera plus qu'une seule intersection:
celle du solide et du plan restant (z=z je dirai lol, puisque h=0)!
Et cet intersection donne la surface A(z)!

cqfd en principe
ps: Merci julien "lesex" dit Jesus!
je comprends pourkoi ces pelerins convergent pour te toucher lol