une question tres simple et tres chi**te:
rappeler la formule de calcul d'un volume a l'aide du calcul intégral:
(pas de soucis: c'est l'integral de la surface du solide délimitée ....)
-Quelle demo peut on donner de ce resultat?-
Et la, c'est le drame! (alors que je suis sur que c'est si simple! lol)
si vous avez une reponse avant le 6 avril: sauvez moi la vie!

*** message déplacé ***

Bonjour

Grosso modo :

Repère orthonormal, solide (S) qu'on découpe par des plans parallèles au plan (xoy). A(z) l'aire de l'intersection par le plan de cote z (A continue) et (S) est engendré par par cette intersection quand z varie de a à b (avec a < b)

Soit V(z) le volume de la partie de (S) située au-dessous du plan de cote z. On fait subir à z un "accroissement" de h :

- si h > 0 l'accroissement de volume V(z+h)-V(z) est compris entre les volumes de deux cylindres élémentaires :

A_m(h)h et A_M(h)h , où A_m(h) et A_M(h) sont la plus petite et la plus grande des valeurs de A sur [z;z+h]

autrement dit :
A_m(h)h V(z+h)-V(z) A_M(h)h

- si h < 0 on a de même :

A_m(-h)h V(z)-V(z+h) A_M(-h)h

Donc dans les deux cas on obtient :



Lorsque h tend vers zéro, A_m et A_M tendent vers A(z)

donc V'(z) = A(z).

V est donc une primitive de f sur [a,b]

et on arrive à

En espérant que cela pourra t'aider.

A approfondir

V=[b ]integrale[a]xf²(x)dx

V = de a à b de x[f(x)]²dx

Merci bcp pour votre aide
little guy ta demo est tres bonne, seulement juste un petit detail (de pacotille) me gene; je ne capte pas pourquoi:
~ Quand h->0 Am(h)->Am(z)   (idem pour AM)
~ le volume elementaire est Am(h).h , c'est le produit de l'aire par la hauteur donc un volume, ok; mais pourquoi Am est en foncton de h?

En esperant une reponse rapide je vous dis encore merci bcp pour cette aide tres appreciable
ps: petite erreur a la fin little guy:
V(Solide entre z=b et z=a)=integrale(A(z).dz, de a à b)

Désolé pour la coquille à la fin (j'ai pensé surface par abus de langage et tapé S au lieu de A)

"...où Am(h) et AM(h) sont la plus petite et la plus grande des valeurs de A sur [z;z+h]"

donc ces deux aires sont par définition-même fonctions de h.
et A est continue (je l'ai supposé au début) donc lorsque h tend vers zéro A(z+h) tend vers A(z) ; en fait à ce niveau de la démonstration z est fixé, h varie.

Mais ma démo manque certainement de rigueur.

en fait, il fo faire un encadrement comme ceci:

          f1(h)<(V(z+h)-V(z))/h<f2(h)

on fait tendre h->0 et on obtient que la derivée du volume c'est une aire mais pour ca il faut que:
           lim(f1(h))=lim(f2(h))=A(z) pour h->0

or je me demande comment la limite de Am(h) (et AM(h)) devient A(z)!

help

ok ben je vous donnerai la reponse demain une fois que je me serai fait eclater, lol!
en gros c une demo a la Riemann mais c dommage car je n'etais pas loin!
j'aurai du m'y prendre + tot (comme d'hab)
A+

Ok c bon je pense avoir trouver l'explication:

Apres avoir trouvé l'encadrement:
               A_m < (V(z+h)-V(z))/h < A_M

on fait tendre h->0 ce qui donne:
                    A(z) < V'(z) < A(z)  ie  A(z)=V'(z)

Pourkoi?
Car A_M et A_m, les aires max et min, sont définies comme la plus grande (petite) surface donnée par l'ensemble des intersections du solide et des plans.

donc  entre z=z et z=z+h il y a une infinité de plans qui coupent le solide.

Or si h->0 il ne restera plus qu'une seule intersection:
celle du solide et du plan restant (z=z je dirai lol, puisque h=0)!
Et cet intersection donne la surface A(z)!

cqfd en principe
ps: Merci julien "lesex" dit Jesus!
je comprends pourkoi ces pelerins convergent pour te toucher lol