cours sur les barycentes

I. Barycentre de deux points pondérés

Théorème :
Soient A et B deux points et et deux réels.
Si , alors il existe un unique point G tel que .

Définition :
Soient A et B deux points et et deux réels tels que .
L'unique point G tel que est appelé barycentre des points A et B affectés des coefficients et .

remarques :
On dit aussi que G est le barycentre des points pondérés (A, ) et (B, ),
ou encore que G est le barycentre du système {(A, ); (B, )}.
On note : G = bar {(A, ); (B, )}
Si = , on dit que G est l'isobarycentre des points A et B (A et B étant deux points distincts).

Théorème :
Soit G le barycentre des points pondérés (A, ) et (B, ), avec .
Alors, pour tout point M du plan, on a :
D'où l'on déduit :
démonstration :
On sait que
Donc, à l'aide de la relation de Chasles :
Donc :
Donc :
Donc :
On en déduit que :

Propriétés :
Si G est le barycentre du système {(A, ); (B, )} avec et A et B deux points distincts,
alors G appartient à la droite (AB) (ce qui revient à dire que les points G, A et B sont alignés).
Position du barycentre G sur la droite (AB) : si et et deux réels tous deux positifs ou tous deux négatifs,
alors G appartient au segment [AB].

homogénéité : le barycentre de deux points pondérés ne change pas si l'on multiplie les coefficients par un nombre réel non nul.
Ce qui se traduit par : si G est le barycentre du système {(A, ); (B, )} avec ,
alors G est aussi le barycentre du système {(A, k × ); (B, k × )} avec k réel non nul.

II. Barycentre de trois points pondérés

Théorème :
Soient A, B et C trois points et , et trois réels.
Si , alors il existe un unique point G tel que

Définition :
Soient A, B et C trois points et , et trois réels tels que .
L'unique point G tel que est appelé barycentre des points A, B et C affectés des coefficients , et .

remarques :
On dit aussi que G est le barycentre des points pondérés (A, ), (B, ) et (C, ).
ou encore que G est le barycentre du système {(A, ); (B, ); (C, )}.
On note : G = bar {(A, ); (B, ); (C, )}
Si = = , on dit que G est l'isobarycentre des points A, B et C.
Si ABC est un triangle, l'isobarycentre G est le centre de gravité de ABC.

Théorème :
Soit G le barycentre des points pondérés (A, ), (B, ) et (C, ), avec .
Alors, pour tout point M du plan, on a :
D'où l'on déduit :

Propriétés :
homogénéité : le barycentre de trois points pondérés ne change pas si l'on multiplie les coefficients par un nombre réel non nul.
ce qui se traduit par : si G est le barycentre du système {(A, ); (B, ); (C, )} avec ,
alors G est aussi le barycentre du système {(A, k × ); (B, k × ); (C, k × )} avec k réel non nul.

théorème du barycentre partiel : G est le barycentre du système {(A, ); (B, ); (C, )}.
Supposons que et notons H le barycentre de {(A, ); (B, )}.
Alors G est le barycentre de {(H, + ); (C, )}

III. Barycentre de n points pondérés

On généralise à n points les résultats établis pour deux ou trois points.

Théorème :
Soient A₁, A₂, ..., A_n n points et n réels.
Si , alors il existe un unique point G tel que

Définition :
Soient A₁, A₂, ..., A_n n points et n réels tels que .
L'unique point G tel que est appelé barycentre des points A₁, A₂, ..., A_n affectés des coefficients ₁, ₂, ... _n.

remarques :
On dit aussi que G est le barycentre des points pondérés (A₁, ₁); (A₂, ₂), ... et (A_n, _n),
ou encore que G est le barycentre du système {(A₁, ₁); (A₂, ₂); ...; (A_n, _n)}.
On note : G = bar {(A₁, ₁); (A₂, ₂); ...; (A_n, _n)}
Si ₁ = ₂ = ... =_n, on dit que G est l'isobarycentre des points A₁, A₂, ... A_n (avec A₁, A₂, ... A_n n points dictincts).

Théorème :
Soit G le barycentre des points pondérés (A₁, ₁); (A₂, ₂); ...; (A_n, _n), avec .
Alors, pour tout point M du plan, on a :
D'où l'on déduit :

Propriétés :
homogénéité : le barycentre de n points pondérés ne change pas si l'on multiplie les coefficients par un nombre réel non nul.
Ce qui se traduit par : si G est le barycentre du système {(A₁, ₁); (A₂, ₂), ... et (A_n, _n)} avec ,
alors G est aussi le barycentre du système {(A₁, k × ₁); (A₂, k × ₂); ...; (A_n, k × _n)} avec k réel non nul.

théorème du barycentre partiel : G est le barycentre du système {(A₁, ₁); (A₂, ₂); ...; (A_n, _n)}.
Supposons que (p n) et notons H le barycentre du système {(A₁, ₁); (A₂,₂); ...; (A_p,_p)}
Alors G est le barycentre du système {(H, ₁ + ₂ + ... + _p); (A_p+1,_p+1); ...; (A_n, _n)}.

IV. Coordonnées du barycentre

Dans un repère , si G est le barycentre de (A₁, ₁); (A₂, ₂); ...; (A_n, _n), avec ,
alors les coordonnées du point G sont :

    et    

exemple :
A, B et C sont trois points tels que A(-2; 3), B(2; 4) et C(1; -1).
Le barycentre G de {(A, 4); (B, 3); (C, -2)} a pour coordonnées le couple (x_G; y_G) tel que :

    et    

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© Tom_Pascal & Océane 2006