Fiche de mathématiques
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Les Barycentres

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exercice 1

A et B sont deux points distincts. Construire, s'il existe, le barycentre :

1.G des points pondérés (A; 1) et (B; 3).

2.H des points pondérés (A; 2) et (B; 2).

3.J des points pondérés (A; -1) et (B; 2).

4.K des points pondérés (A; -2) et (B; -6).

5.L des points pondérés (A; -2) et (B; 2).



exercice 2

Dans un plan muni d'un repère (O;\vec{i},\vec{j}), on considère les points A(1 ; 1) et B(5 ; 3).

1. Calculer les coordonnées du barycentre G de (A ; 2) et (B ; 1).

2. Déterminer des réels a et b tels que H(-1 ; 0) soit le barycentre de (A ; a) et (B; b).

3. Peut-on trouver a et b tels que O soit le barycentre de (A; a) et (B; b)?



exercice 3

Soit A et B deux points tels que AB = 4.
On considère le barycentre G de (A; 1) et (B; 3) et le barycentre K de (A; 3) et (B; 1).

1.Exprimer les vecteurs \overrightarrow{\text{AG}} et \overrightarrow{\text{AK}} en fonction de \overrightarrow{\text{AB}}. Placer sur un dessin les points A, B, G et K.

2.Montrer que les segments [AB] et [GK] ont le même milieu.



exercice 4

Soit QUAD un quadrilatère.
Construire le barycentre G de (Q; 1), (U; 1), (A; -2) et (D; -1).



exercice 5

Soit ABC un triangle, A', B', C' les milieux respectifs de [BC], [AC], [AB] et G le barycentre des points pondérés (A;1), (B;1) et (C;1).

1.Montrer que G est le barycentre de (C; 1) et (C'; 2).

2.En déduire la position de G sur le segment [CC'].

3.Démontrer que G appartient à [BB'] et à [AA']. Que peut-on en déduire ?



exercice 6

Soit TRUC un quadrilatère.
On désigne par K, L, M, N les milieux respectifs de [TR], [RU], [UC], [CT] et par G l'isobarycentre des quatre points T, R ,U et C.
Prouver que G est le milieu de [KM] et de [NL].
Que peut-on dire du quadrilatère KLMN ?



exercice 1

1. G barycentre des points pondérés (A; 1) et (B; 3).
Comme 1 + 3 \neq 0, alors le barycentre de ce système existe.
Par définition du barycentre, on a : \overrightarrow{\text{GA}}+3\overrightarrow{\text{GB}}=\overrightarrow{0}
En utilisant la relation de Chasles, on obtient :
\overrightarrow{\text{GA}}+3\overrightarrow{\text{GA}}+3\overrightarrow{\text{AB}}=\overrightarrow{0}\\ 4\overrightarrow{\text{GA}}=-3\overrightarrow{\text{AB}}\\ \overrightarrow{\text{AG}}=\dfrac{3}{4}\overrightarrow{\text{AB}}

2. H barycentre des points pondérés (A; 2) et (B; 2).
Comme 2 + 2 \neq 0, alors le barycentre de ce système existe.
Par définition du barycentre, on a : 2\overrightarrow{\text{HA}}+2\overrightarrow{\text{HB}}=\overrightarrow{0}
En utilisant la relation de Chasles, on obtient :
2\overrightarrow{\text{HA}}+2\overrightarrow{\text{HA}}+2\overrightarrow{\text{AB}}=\overrightarrow{0}\\ 4\overrightarrow{\text{HA}}=-2\overrightarrow{\text{AB}}\\ \overrightarrow{\text{AH}}=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{\text{AB}}

3. J barycentre des points pondérés (A; -1) et (B; 2).
Comme -1 + 2 \neq 0, alors le barycentre de ce système existe.
Par définition du barycentre, on a : -\overrightarrow{\text{JA}}+2\overrightarrow{\text{JB}}=\overrightarrow{0}
En utilisant la relation de Chasles, on obtient :
-\overrightarrow{\text{JA}}+2\overrightarrow{\text{JA}}+2\overrightarrow{\text{AB}}=\overrightarrow{0}\\ \overrightarrow{\text{JA}}=-2\overrightarrow{\text{AB}}\\ \overrightarrow{\text{AJ}}=2\overrightarrow{\text{AB}}

4. K barycentre des points pondérés (A; -2) et (B; -6).
Comme -2 - 6 \neq 0, alors le barycentre de ce système existe.
Par définition du barycentre, on a : -2\overrightarrow{\text{KA}}+6\overrightarrow{\text{KB}}=\overrightarrow{0}
En utilisant la relation de Chasles, on obtient :
-2\overrightarrow{\text{KA}}+6\overrightarrow{\text{KA}}+6\overrightarrow{\text{AB}}=\overrightarrow{0}\\ -8\overrightarrow{\text{KA}}=6\overrightarrow{\text{AB}}\\ \overrightarrow{\text{AK}}=\dfrac{3}{4}\overrightarrow{\text{AB}}

5. L barycentre des points pondérés (A; -2) et (B; 2).
Comme -2 + 2 = 0, alors le barycentre n'est pas défini.




exercice 2

1. Coordonnées du barycentre G de (A; 2) et (B; 1).
xG = [(2 ×1 + 1 ×5)/3] = [7/3]          et          yG = [(2 ×1 + 1 ×3)/3] = [5/3]
D'où : G a pour coordonnées ( 7/3 ; 5/3 ).

2. H est le barycentre de (A ; a) et (B ; b) si et seulement si
x_H = \dfrac{a \times 1 + b \times 5}{a + b} \hspace{10pt} \text{ et } \hspace{10pt} y_H = \dfrac{a \times 1 + b \times 3}{a + b}
Or H a pour coordonnées (-1 ; 0), donc : \left \lbrace \begin{array}{c @{ = } c} \dfrac{a + 5b}{a + b}  &  -1 \\  \dfrac{a + 3b}{a + b}  &  0 \\ \end{array} \right.
ce qui équivaut à : \left \lbrace \begin{array}{c @{ = } c} 2a + 6b  &  0 \\  a + 3b  &  0 \\ \end{array} \right.
Ces deux équations sont équivalentes à a = -3b.
Une solution du système est donc : a = -3 et b = 1.
H est donc barycentre de (A ; -3) et (B; 1).
Remarque :
en fait, H est barycentre de (A ; -3b) et (B ; b) avec -3b + b \small \neq 0 c'est-à-dire b \small \neq 0.

3. O est le barycentre de (A ; a) et (B ; b) si et seulement si
x_O = \dfrac{a \times 1 + b \times 5}{a + b} \hspace{10pt} \text{ et } \hspace{10pt} y_O = \dfrac{a \times 1 + b \times 3}{a + b}
Or O a pour coordonnées (0 ; 0), donc : \left \lbrace \begin{array}{l} \dfrac{a+5b}{a+b}  =  0  \\  \dfrac{a+3b}{a+b}  =  0 \\ \end{array} \right.
ce qui équivaut à :
\left \lbrace \begin{array}{l} a + 5b  =  0  \\  a + 3b  =  0 \\ \end{array} \right.
Ce système admet un unique couple solution (0; 0). Comme la somme des coefficients est nulle, alors O ne peut pas être barycentre de (A; a) et (B; b).




exercice 3

1. G étant le barycentre de (A; 1) et (B; 3), par définition, on a :
\overrightarrow{\text{GA}}+3\overrightarrow{\text{GB}}=\overrightarrow{0}
donc :
\overrightarrow{\text{GA}}+3\overrightarrow{\text{GA}}+3\overrightarrow{\text{AB}}=\overrightarrow{0}\\ 4\overrightarrow{\text{GA}}=-3\overrightarrow{\text{AB}}\\ \overrightarrow{\text{AG}}=\dfrac{3}{4}\overrightarrow{\text{AB}}
De même, K étant le barycentre de (A; 3) et (B; 1), par définition du barycentre, on a :
3\overrightarrow{\text{KA}}+\overrightarrow{\text{KB}}=\overrightarrow{0}
donc :
3\overrightarrow{\text{KA}}+\overrightarrow{\text{KA}}+\overrightarrow{\text{AB}}=\overrightarrow{0}\\ 4\overrightarrow{\text{KA}}=-\overrightarrow{\text{AB}}\\ \overrightarrow{\text{AK}}=\dfrac{1}{4}\overrightarrow{\text{AB}}

2. Soit I le milieu du segment [AB]. On va montrer que I est aussi le milieu du segment [GK].
\overrightarrow{\text{IG}}+\overrightarrow{\text{IK}}=\overrightarrow{\text{IA}}+\overrightarrow{\text{AG}}+\overrightarrow{\text{IA}}+\overrightarrow{\text{AK}}\\ =2\overrightarrow{\text{IA}}+\dfrac{3}{4}\overrightarrow{\text{AB}}+\dfrac{1}{4}\overrightarrow{\text{AB}}
Or, I étant le milieu du segment [AB], 2\overrightarrow{\text{IA}}=\overrightarrow{\text{BA}}. On obtient donc :
\overrightarrow{\text{IG}}+\overrightarrow{\text{IK}}=\overrightarrow{\text{BA}}+\overrightarrow{\text{AB}}=\overrightarrow{0}
I est donc le milieu du segment [GK].
On a donc montré que les segments [AB] et [GK] ont le même milieu.




exercice 4

G étant le barycentre de (Q; 1), (U; 1), (A; -2) et (D; -1), on a :
\overrightarrow{\text{GQ}} + \overrightarrow{\text{GU}} - 2\overrightarrow{\text{GA}} - \overrightarrow{\text{GD}} = \overrightarrow{0}\\ \overrightarrow{\text{GQ}} + \overrightarrow{\text{GQ}} + \overrightarrow{\text{QU}} - 2\overrightarrow{\text{GQ}} - 2\overrightarrow{\text{QA}} - \overrightarrow{\text{GD}} = \overrightarrow{0}\\ \overrightarrow{\text{DG}} = -\overrightarrow{\text{QU}} + 2\overrightarrow{\text{QA}}




exercice 5

1. C' est le milieu de [AB], donc C' est le barycentre de (A, 1) (B, 1).
G est le barycentre de (A, 1), (B, 1), (C, 1).
Donc d'après le théorème d'associativité du barycentre, on a :
G est le barycentre de (C',2), (C, 1).

2. On vient de montrer que G est le barycentre de (C', 2), (C, 1), donc :
2\overrightarrow{\text{GC'}} + \overrightarrow{\text{GC}} = \overrightarrow{0}\\ 2\overrightarrow{\text{GC}} + 2\overrightarrow{\text{CC'}} + \overrightarrow{\text{GC}} = \overrightarrow{0}\\ 3\overrightarrow{\text{GC}} = -2\overrightarrow{\text{CC'}}\\ \overrightarrow{\text{CG}} = \dfrac{2}{3} \overrightarrow{\text{CC'}}

3. A' est le milieu de [BC], donc A' est le barycentre de (B, 1) (C, 1).
G est le barycentre de (A, 1), (B, 1), (C, 1).
Donc d'après le théorème d'associativité du barycentre, on a :
G est le barycentre de (A', 2), (A, 1).
On en déduit que G appartient à (A'A) [même au segment [A'A]].

B' est le milieu de [AC], donc B' est le barycentre de (A, 1)(C, 1).
G est le barycentre de (A,1), (B,1), (C,1).
Donc d'après le théorème d'associativité du barycentre, on a :
G est le barycentre de (B',2), (B, 1).
On en déduit que G appartient à (B'B) [même au segment [B'B]].

Les droites (AA'), (BB') et (CC') sont donc concourantes en G.
[En fait, G est le centre de gravité du triangle ABC.]




exercice 6

K milieu de [TR], donc K barycentre de (T,1)(R,1)
M milieu de [UC], donc M barycentre de (U,1)(C,1)
G barycentre des points (T,1)(R,1)(U,1)(C,1)
D'après le théorème d'associativité du barycentre, on en déduit que G est le barycentre de (K,2)(M,2).
G est donc le milieu du segment [KM].

De même :
L milieu de [RU], donc L barycentre de (R,1)(U,1)
N milieu de [TC], donc N barycentre de (T,1)(C,1)
G barycentre des points (T,1)(R,1)(U,1)(C,1)
D'après le théorème d'associativité du barycentre, on en déduit que G est le barycentre de (L,2)(N,2).
G est donc le milieu du segment [NL].

Le quadrilatère KLMN a ses diagonales qui se coupent en leur milieu. Ce quadrilatère est donc un parallélogramme.
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