exercice 1
P est un polynôme de degré supérieur ou égal à deux dont
est une racine double.
Montrer que
est aussi une racine de P'.
exercice 2
f et g sont deux fonctions définies sur
. Elles sont toutes deux décroissantes sur
.
Quel est le sens de variations de
?
exercice 1
P est un polynôme de degré supérieur ou égal à deux dont
est une racine double, donc il existe un polynôme Q de degré supérieur ou égal à 0 tel que :
.
Dérivons le polynôme P :
Et on a bien :
On en conclut que
est aussi une racine de P'.
exercice 2
Soient a et b deux réels tels que a < b. On a :
Or, f est décroissante sur
, donc pour tous réels a et b tels que a < b, f(a) > f(b).
La fonction g est aussi décrossante sur
, donc pour tous réels f(a) et f(b) tels que f(a) > f(b),
D'où : a < b entraîne
: la fonction
est donc croissante sur
.