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Fiche de mathématiques





I. Notion de fonction

D est un intervalle ou une réunion d'intervalles de \mathbb{R}. Fabriquer, ou définir une fonction f de D dans \mathbb{R}, c'est associer à chaque réel x de D un réel et un seul, noté f(x).
On dit que D est l'ensemble de définition de f, ou encore que f est définie sur D. Le réel f(x) s'appelle l'image de x par f.

Exemples :
      * la fonction f définie sur \mathbb{R} par f(x)= 2 associe à tout réel x le réel 2. Tous les réels ont la même image. On dit alors que f est une fonction constante.
      * par la fonction f définie sur \mathbb{R} par f(x)= x, chaque réel a pour image lui-même. On dit que f est la fonction identité de \mathbb{R}.
      * les fonctions f définies sur \mathbb{R} par f(x) = ax + b sont des fonctions affines. Par exemple la fonction f définie sur \mathbb{R} par f(x) = 2x + 3.

Notez qu'une fonction constante est une fonction affine (cas où a = 0). La fonction définie sur \mathbb{R} par f(x) = x est aussi une fonction affine (cas où a = 1; b = 0).

II. Les problèmes de notation

f est une fonction de D dans \mathbb{R}; on peut la désigner par l'écriture suivante :
f :   D \longrightarrow \mathbb{R}
       x \mapsto f(x)


Exemple : f :   \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R}
                        x \mapsto

Signification de cette notation : f est la fonction définie sur \mathbb{R} qui à tout réel associe son carré.

III. Les problèmes de l'ensemble de définition

Illustrons sur deux exemples comment on peut trouver l'ensemble de définition D de certaines fonctions f.
Exemples :

a) Il y a un dénominateur dans l'écriture de f(x).
     f(x) = \dfrac{3\text{x}-1}{2\text{x}+5}
x étant un réel, l'écriture \dfrac{3\text{x}-1}{2\text{x}+5} ne désigne un réel que si: 2x + 5 \neq 0, soit x \neq -\dfrac{5}{2} .
Donc: D = \mathbb{R}-\left\lbrace-\dfrac{5}{2}\right\rbrace.

b) Il y a une racine carrée dans l'écriture de f(x).
     f(x) = \sqrt{\text{x}-1}
x étant un réel, l'écriture \sqrt{\text{x}-1} ne désigne un réel que si : x - 1 \ge 0, soit x \ge 1.
Donc: D = \left[1;+\infty\right[.




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