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Fiche de mathématiques




L'emploi de la calculatrice est autorisé.

La rédaction et la présentation seront notées sur 4 points.

Coefficient : 2     Durée : 2 heures


12 points

Activités numériques

exercice 1

On donne l'expression numérique :
A=2\times 10^2+10^1+10^{-1}+2\times 10^{-2}

1. Donner l'écriture décimale de A.

2. Donner l'écriture scientifique de A.

3. Écrire A sous la forme d'un produit d'un nombre entier par une puissance de 10.

4. Écrire A sous la forme d'une somme d'un entier et d'une fraction irréductible inférieure à 1.




exercice 2

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples (QCM).
Pour chacune des questions, trois réponses sont proposées, une seule est exacte. En cas d'erreur, aucun point ne sera enlevé.
Pour chaque question, indiquer son numéro sur la copie et recopier la réponse.
Aucune justification n'est demandée.
 QuestionRéponse ARéponse BRéponse C
1.La médiane de la série de valeurs 7; 8; 8; 12; 12; 14; 15; 15; 41est égale à la moyenne de cette série de valeursest supérieure à la moyenne de cette série de valeursest inférieure à la moyenne de cette série de valeurs
2.Diminuer un prix de 15 % revient àdiviser ce prix par 0,85.multiplier ce prix par 1,15.multiplier ce prix par 0,85.
3.si x=3 alors l'expression A=-2x^2 est égale18-1836
4.L'équation (2x+1)-(x-3)=0admet deux solutions : -0,5 et 3.admet une solution : 2admet une solution : -4.





exercice 3

Soit A=\dfrac{1}{4}\left[(a+b)^2-(a-b)^2\right].

1. Calculer A pour a=1 et b=5.

2. calculer A pour a=-2 et b=-3.

3. Alex affirme que le nombre A est égal au produit des nombres a et b. A-t-il raison ? Justifier.


12 points

Activités géométriques

exercice 1

L'unité de longueur est le centimètre.
ABCD est un carré tel que : AB = 4.
Le point M est situé dans le carré ABCD et vérifie : AM = 2,4 et DM = 3,2.
La droite (AM) coupe la demi-droite [DC) au point I.

1. Faire une figure en vraie grandeur.

2. Montrer que le triangle AMD est rectangle en M.

3. Calculer au degré près la mesure de l'angle \widehat{DAM}.

4. Dans le triangle ADI rectangle en D, exprimer \tan{\left(\widehat{DAI}\right)}.
En déduire une valeur approchée au mm près de la longueur DI.




exercice 2

Annie possède de la ficelle dont la forme est un cylindre de rayon 0,5 mm et de hauteur h.

1. Montrer que le volume de cette ficelle cylindrique est égale à 0,0025\times \pi\times h cm3.

2. En enroulant cette ficelle, Annie obtient une pelote ayant la forme d'une boule de rayon 30 cm.
On suppose que la ficelle est enroulée de manière qu'il n'y a aucun vide dans la pelote. Montrer que le volume de cette boule est égal à 36 000 \times \pi cm3.

3. Vérifier que la hauteur h du cylindre (la longueur de la ficelle) est égale à 144 km.

4. Annie prétend que si les 294 autres élèves de son collège possédaient chacun la même pelote, on pourrait faire le tour de l'équateur terrestre en déroulant toutes ces pelotes et en les reliant bout à bout. A-t-elle raison ? Justifier. (On rappelle que le rayon de la Terre est environ égal à 6 400 km).

Rappels :
   * Le volume d'un cylindre de hauteur h et de rayon r est V=\pi\times r^2\times h
   * Le volume d'une sphère de rayon r est V=\dfrac{4}{3}\times \pi\times r^3
   * Le périmètre d'un cercle de rayon r est L=2\times \pi\times r


12 points

Problème

Les trois parties sont indépendantes

Deux frères ont hérité d'un terrain que l'on peut assimiler à un triangle rectangle.
L'aire de ce terrain est égale à 2 400 m2.
Ils désirent construire un muret afin de partager ce terrain en deux parcelles de même aire, soit 1 200 m2 par parcelle.
Pour cela, on partage le terrain selon un segment [MN], M et N étant respectivement sur les côtés [CB] et [CA]. Les droites (MN) et (AB) sont parallèles.
Dans tout ce problème, l'unité de longueur est le mètre. On donne : AB=60 et BC=80.

Partie A

Dans cette partie : CM=50.
Diplôme national du brevet Liban Juin 2009 - troisième : image 1


1. Justifier que MN=37,5.

2. Comparer les aires du triangle CMN et du trapèze ANMB après les avoir calculées.

3. Pour que les deux aires soient égales, doit-on placer le point M à plus de 50 m de C ou à moins de 50 m de C ?

Partie B

Diplôme national du brevet Liban Juin 2009 - troisième : image 2
On veut déterminer la distance CM pour laquelle l'aire du triangle CNM est égale à 1 200 m2.
On pose CM=x.

1. Démontrer que MN=\dfrac{3}{4}x.

2. Démontrer que l'aire du triangle CNM, exprimée en m2, a pour mesure : \dfrac{3}{8}x^2.

3. Soit f la fonction qui, au nombre x appartenant à l'intervalle [0 ; 80], associe l'aire du triangle CMN.
On note f : x \longmapsto \dfrac{3}{8}x^2.
Ci-dessous, on a construit la courbe représentant la fonction f.
Diplôme national du brevet Liban Juin 2009 - troisième : image 3

    a) À l'aide de cette courbe, déterminer où il faut placer le point M pour que les deux parcelles aient la même aire.
On donnera une valeur approchée.
    b) En résolvant une équation, déterminer la valeur exacte de x pour laquelle les deux parcelles ont la même aire.
    c) En déduire la valeur exacte de la longueur MN du muret puis donne une valeur approchée au dm près de MN.

Partie C

1. Le muret est construit avec des briquettes de 20 cm de longueur et de 10 cm de hauteur. Calculer le nombre de briquettes nécessaires à la construction de ce muret de 42,40 m de longueur et de 1 m de hauteur.

2. Sachant que 20 briquettes coûtent 35 €, calculer le coût du muret.






Activités numériques

exercice 1

1. Donnons l'écriture décimale de A :
A = 2 \times 10^2 + 10^1 + 10^{-1} + 2 \times 10^{-2}\\ A = 200 + 10 + 0,1 + 2 \times 0,01 \\ A = 210,1 + 0,02\\ A = 210,12

2. Donnons l'écriture scientifique de A :
A = 210,12, donc A = 2,1012 \times 10^2

3. Écrivons A sous la forme d'un produit d'un nombre entier par une puissance de 10 :
A = 210,12, donc A = 21\,012 \times 10^{-2}

4. Écrivons A sous la forme d'une somme d'un entier et d'une fraction irréductible inférieure à 1 :
A = 210,12 = 210 + 0,12, donc A = 210 + \dfrac{12}{100} = 210 + \dfrac{3}{25}



exercice 2

1. La bonne réponse est la réponse C.
Cette série statistique est composée de 9 termes. Sa médiane est donc le cinquième terme, soit 12.
La moyenne de cette série est quant à elle égale à \dfrac{7+8+8+12+12+14+15+15+41}{9}=14,66\underline{6}\dots
La médiane de cette série est donc inférieure à la moyenne.

2. La bonne réponse est la réponse C.
Soit p le prix initial. Le prix après réduction de 15% est p_r=p-\dfrac{15}{100}p=\dfrac{100-15}{100}p=\dfrac{85}{100}p=0,85.

3. La bonne réponse est la réponse B.
Si x=3, alors -2x^2 = -2\times3^2 = -2\times9 = \fbox{\math -18}.

4. La bonne réponse est la réponse C.
(2x+1)-(x-3)=0\\ 2x+1-x+3=0\\ x+4=0\\ x=-4



exercice 3

1. Pour a=1 et b=5, on a : A=\dfrac{1}{4}\left[(a+b)^2-(a-b)^2\right]=\dfrac{1}{4}\left(6^2-(-4)^2\right)=\dfrac{1}{4}\left(36-16\right)=\fbox{5}.

2. Pour a=-2 et b=-3, on a : A=\dfrac{1}{4}\left[(a+b)^2-(a-b)^2\right]=\dfrac{1}{4}\left((-5)^2-1^2\right)=\dfrac{1}{4}\left(25-1\right)=\fbox{6}.

3. A=\dfrac{1}{4}\left[(a+b)^2-(a-b)^2\right]=\dfrac{1}{4}\left[(a+b)+(a-b)\right]\left[(a+b)-(a-b)\right]=\dfrac{1}{\not{4}}\times\not{2}a\times\not{2}b=\fbox{\math ab}.
Alex a donc raison : le nombre A est égal au produit des nombres a et b.


Activités géométriques

exercice 1

1.
Diplôme national du brevet Liban Juin 2009 - troisième : image 4

2. Dans le triangle AMD, on a par construction AD=4cm, AM=2,4 et DM=3,2. Le plus grand côté est donc AD, seul susceptible d'être l'hypoténuse. Calculons :
* AD² = 4² = 16 ;
* AM² + DM² = (2,4)² + (3,2)² = 5,76 + 10,24 = 16.
Ainsi, AD² = AM² + DM² : le triangle AMD est donc rectangle en M d'après la réciproque du théorème de Pythagore.

3. Dans le triangle DAM rectangle en M, on sait que \displaystyle\cos\left(\widehat{DAM}\right)=\frac{{\rm c\hat{o}t\'{e}\,adjacent\,à}\,\widehat{DAM}}{\rm hypot\'{e}nuse}=\frac{\text{AM}}{\text{AD}}=\frac{2,4}{4}=0,6.
On a donc \widehat{DAM}=\cos^{-1}\left(0,6\right)\simeq53,1 soit environ 53°.

4. Dans le triangle ADI rectangle en D, on a \displaystyle\tan\left(\widehat{DAI}\right)=\frac{{\rm c\hat{o}t\'{e}\,adjacent\,à}\,\widehat{DAI}}{{\rm c\hat{o}t\'{e}\,opposé\,à}\,\widehat{DAI}}=\frac{\text{DI}}{\text{DA}}.
Ainsi, DI=\tan\left(\widehat{DAI}\right)\times \text{DA}=\tan\left(\widehat{DAM}\right)\times \text{DA}=\tan\left(53^\circ\right)\times4\simeq5,30 soit environ 5,3 cm.



exercice 2

1. Le rayon de la ficelle d'Annie est r = 0,5mm = 0,05cm.
Par définition, le volume de sa ficelle est donc V_f=\pi\times r^2\times h=\pi\times(0,05)^2\times h=\fbox{\math 0,0025\times\pi\times h\,{\rm cm}^3}.

2. Le volume de la boule est V_b=\frac{4}{3}\times\pi\times r^3=\frac{4}{3}\times\pi\times30^3=\fbox{\math 36\,000\times\pi\,{\rm cm}^3}.

3. La ficelle étant la même dans les deux questions précédentes, sa hauteur h vérifie la relation :
\displaystyle 0,0025\times\pi\times h=36\,000\pi\\ 0,0025 h = 36\,000\\ h = \frac{36\,000}{0,0025} = 14\,400\,000\,{\rm cm\quad soit\,\fbox{144\,km}}.

4. Si les 294 autres élèves de son collège possédaient la même pelote, on disposerait alors de 295 pelotes (avec celle d'Annie), soit une longueur totale de 295×144 = 42 480 km de pelote.
Or, le périmètre de la Terre est égal à 2\times\pi\times r_t\simeq2\times\pi\times6\,400\simeq40\,212 km.
On pourrait donc bien faire le tour de la Terre en mettant bout à bout toutes les pelotes. Annie a raison.


Problème

Partie A

1. Dans le triangle ABC :
* M\in[BC] ;
* N\in[AC] ;
* (MN)//(AB).
Ainsi, d'après le théorème de Thalès, on peut écrire que \displaystyle\fbox{\math \frac{CM}{CB}=\frac{MN}{AB}}=\frac{CN}{CA}.
D'après l'égalité encadrée, on en déduit plus particulièrement MN=\frac{CM\times AB}{CB}=\frac{50\times60}{80}=\fbox{37,5\,m}.

2. Calculons les aires respectives de CMN et ANMB :
* \mathcal{A}_{CMN}=\frac{MN\times MC}{2}=50\times37,5}{2}=\fbox{937,5\,m^2} ;
* \mathcal{A}_{ANMB}=\mathcal{A}_{ABC}-\mathcal{A}_{CMN}=2\,400-937,5=\fbox{1\,462,5\,m^2}.
On constate donc que \bf \mathcal{A}_{CMN}<\mathcal{A}_{ANMB}.

3. Pour que les deux aires soient égales, il faut (par rapport à la configuration actuelle) augmenter l'aire de CMN, ce qui aura pour effet de diminuer en même temps l'aire du trapèze ANMB.
On doit donc placer le point M à plus de 50 m du point C.

Partie B

1. En appliquant le théorème de Thalès à la figure, on obtient l'égalité \frac{MN}{AB}=\frac{CM}{CB}, d'où MN=\frac{AB\times CM}{CB}=\frac{60x}{80}=\fbox{\math\frac{3}{4}x}.

2. \displaystyle\mathcal{A}_{CNM}=\frac{MN\times MC}{2}=\frac{\frac{3}{4}x\times x}{2}=\fbox{\math\frac{3}{8}x^2}.

3. a) Pour que les deux parcelles aient la même aire, il faut que \mathcal{A}_{CNM}=\frac{1}{2}\times\mathcal{A}_{ABC}=1\,200 m2.
On repère donc la graduation « 1200 » sur l'axe des ordonnées, puis on repère l'abscisse du point de la courbe ayant pour ordonnée 1200 : on trouve ainsi que le point M doit être environ situé à 57 m du point C.

3. b) En appliquant le même raisonnement qu'à la question précédente, il suffit de résoudre l'équation \frac{3}{8}x^2=1\,200 :
\frac{3}{8}x^2 = 1\,200\\ x^2 = \frac{8\times1\,200}{3}\\ x^2 = 3\,200\\ x = \sqrt{3\,200}\quad {\rm car}\,{\math x}\,{\rm positif}\\ x = \sqrt{16\times2\times25\times4}\\ x = 4\times5\times2\sqrt{2}\\ \fbox{\math x = 40\sqrt{2}}

3. c) La longueur MN du muret est alors : MN=\frac{3}{\not{4}}\times\not{4}0\sqrt{2}=\fbox{\math 30\sqrt{2}\simeq42,4\,{\rm m}}.

Partie C

1. Le muret a une longueur de 42,40 m, les briquettes font 20 cm de longueur. Il faudra donc (4 240)/20 = 212 briquettes dans la longueur.
De même, le muret a une hauteur de 1 m, les briquettes font 10 cm de hauteur. Il faudra donc 10 briquettes dans la hauteur.
Au total, il faudra donc utiliser 212×10 = 2 120 briquettes pour construire ce mur.

2. Sachant que 20 briquettes coûtent 35€, 2 120 briquettes coûtent (21201×35)/20 = 3 710€.
Le muret coutera 3 710 euros



Merci à ProfilPorcepic Porcepic pour avoir contribué à l'élaboration de cette fiche



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