Diplôme National du Brevet
Liban - Session Juin 2009
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L'emploi de la calculatrice est autorisé.
La rédaction et la présentation seront notées sur 4 points.
Coefficient : 2 Durée : 2 heures
12 points
Activités numériques
exercice 1
On donne l'expression numérique :
1. Donner l'écriture décimale de .
2. Donner l'écriture scientifique de .
3. Écrire sous la forme d'un produit d'un nombre entier par une puissance de 10.
4. Écrire sous la forme d'une somme d'un entier et d'une fraction irréductible inférieure à 1.
exercice 2
Cet exercice est un questionnaire à choix multiples (QCM).
Pour chacune des questions, trois réponses sont proposées, une seule est exacte. En cas d'erreur, aucun point ne sera enlevé.
Pour chaque question, indiquer son numéro sur la copie et recopier la réponse.
Aucune justification n'est demandée.
Question
Réponse A
Réponse B
Réponse C
1.
La médiane de la série de valeurs 7; 8; 8; 12; 12; 14; 15; 15; 41
est égale à la moyenne de cette série de valeurs
est supérieure à la moyenne de cette série de valeurs
est inférieure à la moyenne de cette série de valeurs
2.
Diminuer un prix de 15 % revient à
diviser ce prix par 0,85.
multiplier ce prix par 1,15.
multiplier ce prix par 0,85.
3.
si alors l'expression est égale
18
-18
36
4.
L'équation
admet deux solutions : -0,5 et 3.
admet une solution : 2
admet une solution : -4.
exercice 3
Soit .
1. Calculer pour et .
2. calculer pour et .
3. Alex affirme que le nombre est égal au produit des nombres et . A-t-il raison ? Justifier.
12 points
Activités géométriques
exercice 1
L'unité de longueur est le centimètre.
est un carré tel que : .
Le point est situé dans le carré et vérifie : et .
La droite coupe la demi-droite au point .
1. Faire une figure en vraie grandeur.
2. Montrer que le triangle est rectangle en .
3. Calculer au degré près la mesure de l'angle .
4. Dans le triangle rectangle en , exprimer .
En déduire une valeur approchée au mm près de la longueur .
exercice 2
Annie possède de la ficelle dont la forme est un cylindre de rayon 0,5 mm et de hauteur .
1. Montrer que le volume de cette ficelle cylindrique est égale à cm3.
2. En enroulant cette ficelle, Annie obtient une pelote ayant la forme d'une boule de rayon 30 cm.
On suppose que la ficelle est enroulée de manière qu'il n'y a aucun vide dans la pelote. Montrer que le volume de cette boule est égal à cm3.
3. Vérifier que la hauteur du cylindre (la longueur de la ficelle) est égale à 144 km.
4. Annie prétend que si les 294 autres élèves de son collège possédaient chacun la même pelote, on pourrait faire le tour de l'équateur terrestre en déroulant toutes ces pelotes et en les reliant bout à bout. A-t-elle raison ? Justifier. (On rappelle que le rayon de la Terre est environ égal à 6 400 km).
Rappels : Le volume d'un cylindre de hauteur et de rayon est
Le volume d'une sphère de rayon est
Le périmètre d'un cercle de rayon est
12 points
Problème
Les trois parties sont indépendantes
Deux frères ont hérité d'un terrain que l'on peut assimiler à un triangle rectangle.
L'aire de ce terrain est égale à 2 400 m2.
Ils désirent construire un muret afin de partager ce terrain en deux parcelles de même aire, soit 1 200 m2 par parcelle.
Pour cela, on partage le terrain selon un segment , et étant respectivement sur les côtés et . Les droites et sont parallèles.
Dans tout ce problème, l'unité de longueur est le mètre. On donne : et .
Partie A
Dans cette partie : .
1. Justifier que .
2. Comparer les aires du triangle et du trapèze après les avoir calculées.
3. Pour que les deux aires soient égales, doit-on placer le point à plus de 50 m de ou à moins de 50 m de ?
Partie B
On veut déterminer la distance pour laquelle l'aire du triangle est égale à 1 200 m2.
On pose .
1. Démontrer que .
2. Démontrer que l'aire du triangle , exprimée en m2, a pour mesure : .
3. Soit la fonction qui, au nombre appartenant à l'intervalle [0 ; 80], associe l'aire du triangle .
On note .
Ci-dessous, on a construit la courbe représentant la fonction .
a) À l'aide de cette courbe, déterminer où il faut placer le point pour que les deux parcelles aient la même aire.
On donnera une valeur approchée. b) En résolvant une équation, déterminer la valeur exacte de pour laquelle les deux parcelles ont la même aire.
c) En déduire la valeur exacte de la longueur du muret puis donne une valeur approchée au dm près de .
Partie C
1. Le muret est construit avec des briquettes de 20 cm de longueur et de 10 cm de hauteur. Calculer le nombre de briquettes nécessaires à la construction de ce muret de 42,40 m de longueur et de 1 m de hauteur.
2. Sachant que 20 briquettes coûtent 35 €, calculer le coût du muret.
3.Écrivons sous la forme d'un produit d'un nombre entier par une puissance de 10 : , donc
4.Écrivons sous la forme d'une somme d'un entier et d'une fraction irréductible inférieure à 1 : , donc
exercice 2
1.La bonne réponse est la réponse C.
Cette série statistique est composée de 9 termes. Sa médiane est donc le cinquième terme, soit 12.
La moyenne de cette série est quant à elle égale à
La médiane de cette série est donc inférieure à la moyenne.
2.La bonne réponse est la réponse C.
Soit le prix initial. Le prix après réduction de 15% est .
3.La bonne réponse est la réponse B.
Si , alors .
4.La bonne réponse est la réponse C.
exercice 3
1. Pour et , on a : .
2. Pour et , on a : .
3. .
Alex a donc raison : le nombre A est égal au produit des nombres a et b.
Activités géométriques
exercice 1
1.
2. Dans le triangle AMD, on a par construction AD=4cm, AM=2,4 et DM=3,2. Le plus grand côté est donc AD, seul susceptible d'être l'hypoténuse. Calculons :
AD² = 4² = 16 ;
AM² + DM² = (2,4)² + (3,2)² = 5,76 + 10,24 = 16.
Ainsi, AD² = AM² + DM² : le triangle AMD est donc rectangle en M d'après la réciproque du théorème de Pythagore.
3. Dans le triangle DAM rectangle en M, on sait que .
On a donc soit environ 53°.
4. Dans le triangle ADI rectangle en D, on a .
Ainsi, soit environ 5,3 cm.
exercice 2
1. Le rayon de la ficelle d'Annie est r = 0,5mm = 0,05cm.
Par définition, le volume de sa ficelle est donc .
2. Le volume de la boule est .
3. La ficelle étant la même dans les deux questions précédentes, sa hauteur vérifie la relation :
4. Si les 294 autres élèves de son collège possédaient la même pelote, on disposerait alors de 295 pelotes (avec celle d'Annie), soit une longueur totale de 295×144 = 42 480 km de pelote.
Or, le périmètre de la Terre est égal à km.
On pourrait donc bien faire le tour de la Terre en mettant bout à bout toutes les pelotes. Annie a raison.
Problème
Partie A
1. Dans le triangle ABC :
;
;
(MN)//(AB).
Ainsi, d'après le théorème de Thalès, on peut écrire que .
D'après l'égalité encadrée, on en déduit plus particulièrement .
2. Calculons les aires respectives de CMN et ANMB :
;
.
On constate donc que .
3. Pour que les deux aires soient égales, il faut (par rapport à la configuration actuelle) augmenter l'aire de CMN, ce qui aura pour effet de diminuer en même temps l'aire du trapèze ANMB.
On doit donc placer le point M à plus de 50 m du point C.
Partie B
1. En appliquant le théorème de Thalès à la figure, on obtient l'égalité , d'où .
2. .
3. a) Pour que les deux parcelles aient la même aire, il faut que m2.
On repère donc la graduation « 1200 » sur l'axe des ordonnées, puis on repère l'abscisse du point de la courbe ayant pour ordonnée 1200 : on trouve ainsi que le point M doit être environ situé à 57 m du point C.
3. b) En appliquant le même raisonnement qu'à la question précédente, il suffit de résoudre l'équation :
3. c) La longueur MN du muret est alors : .
Partie C
1. Le muret a une longueur de 42,40 m, les briquettes font 20 cm de longueur. Il faudra donc (4 240)/20 = 212 briquettes dans la longueur.
De même, le muret a une hauteur de 1 m, les briquettes font 10 cm de hauteur. Il faudra donc 10 briquettes dans la hauteur.
Au total, il faudra donc utiliser 212×10 = 2 120 briquettes pour construire ce mur.
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