Fiche de mathématiques
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Identités Remarquables : Développement

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Fiche relue en 2016.
Rappel : Identités remarquables
Pour tous les nombres a et b, on a :
(a + b)² = a² + 2ab + b²
(a - b)² = a² - 2ab + b²
(a - b)(a + b) = a² - b²


Remarques :
1. La lecture de ces résultats de gauche à droite comme écrit ci-dessus permettent de développer des produits.

Une lecture de droite à gauche permettrait de factoriser des expressions. Effectivement, on obtient alors :
a² + 2ab + b²=(a + b)²
a² - 2ab + b²=(a - b)²
a² - b²=(a - b)(a + b)


2. Devant une différence de deux termes qu'on a à factoriser, il sera bon de penser à l'identité remarquable
a²-b²=(a-b)(a+b)

Exemple : factoriser x²-7 ; repérer que 7 est le carré de \sqrt{7} et alors, on pourra écrire
x^2 - 7 = (x-\sqrt{7})(x+\sqrt{7})

3. Il est d'usage de présenter les résultats des développements sous forme ordonnée suivant les puissances d'une variable choisie.

Développer et réduire les expressions suivantes :


A = (x + 4)^2\\ B = (5 + x)^2\\ C = ( 3 x + 7)^2\\ D = (2 x + 3)^2\\ E = (7 + 2 x)^2\\ F = (3 + 4 y)^2\\ G = (x - 2)^2\\ H = (2 x - 5)^2\\ I = (3  - 2 x)^2\\ J = (7 x - 3)^2
K = (x - 7)(x + 7)\\ L = (2 x - 3)(2 x + 3)\\ M = (3 x + 7)(3 x - 7)\\ N = (- 5 x - 2)(-5 x + 2)\\ O = (2 + 4 x)(4 x - 2)\\ P = (x + 0,1)^2\\ Q = (0,2 y - 5)^2\\ R = (2 y - 0,3)(0,3 + 2 y)\\ S = (- 5 x + 2)^2\\ T =  (4 + y)(y - 4)





A = (x + 4)^2 est de la forme (a + b)² avec a = x et b = 4. Donc :
A = x^2 + 2 \times x \times 4 + 4^2\\ A = x^2 + 8 x + 16

B = (5 + x)^2 est de la forme (a + b)² avec a = 5 et b = x. Donc :
B = 5^2 + 2 \times 5 \times x + x^2\\ B = 25 + 10x + x^2\\ B = x^2 + 10x + 25

C = (3x + 7)^2 est de la forme (a + b)² avec a = 3x et b = 7. Donc :
C = (3 x)^2 + 2 \times 3 x \times 7 + 7^2\\ C = 9 x^2 + 42 x + 49

D = (2 x + 3)^2 est de la forme (a + b)² avec a = 2 x et b = 3. Donc :
D =  (2 x)^2 + 2 \times 2 x \times 3 + 3^2\\ D =  4 x^2 + 12 x + 9

E = (7 + 2 x)^2 est de la forme (a + b)² avec a = 7 et b = 2 x. Donc :
E =  7^2 + 2 \times 7 \times 2 x + (2 x)^2\\ E =  49 + 28 x + 4 x^2\\ E =  4 x^2 + 28 x + 49

F = (3 + 4 y)^2 est de la forme (a + b)² avec a = 3 et b = 4 y. Donc :
F = 3^2 + 2 \times 3 \times 4 y + (4 y)^2\\ F = 9 + 24 y + 16 y^2\\ F = 16 y^2 + 24 y + 9

G = (x-2)^2 est de la forme (a - b)² avec a = x et b = 2. Donc :
G = x^2 - 2 \times x \times 2 + 2^2\\ G = x^2 - 4x + 4

H = (2 x - 5)^2 est de la forme (a - b)² avec a = 2 x et b = 5. Donc :
H = (2 x)^2 - 2 \times 2 x \times 5 + 5^2\\ H = 4 x^2 - 20 x + 25

I = (3 - 2 x)^2 est de la forme (a - b)² avec a = 3 et b = 2 x. Donc :
I = 3^2 - 2 \times 3 \times 2 x + (2 x)^2\\ I = 9 - 12x + 4x^2\\ I = 4x^2 - 12x + 9

J = (7x-3)^2 est de la forme (a - b)² avec a = 7x et b = 3. Donc :
J = (7x)^2 - 2 \times 7x \times 3 + 3^2\\ J = 49x^2 - 42x + 9

K = (x - 7)(x + 7) est de la forme (a - b)(a + b) avec a = x et b = 7. Donc :
K = x^2 - 7^2\\ K = x^2 - 49

L = (2x - 3)(2x + 3) est de la forme (a - b)(a + b) avec a = 2x et b = 3. Donc :
L = (2x)^2 - 3^2\\ L = 4x^2 - 9

M = (3 x + 7)(3 x - 7) est de la forme (a - b)(a + b) avec a = 3 x et b = 7. Donc :
M = (3x)^2 - 7^2\\ M = 9x^2 - 49

N = (- 5 x - 2)(-5 x + 2) est de la forme (a - b)(a + b) avec a = - 5x et b = 2. Donc :
N = (-5x)^2 - 2^2\\ N = 25x^2 - 4

O = (2 + 4 x)(4 x - 2)\\ O = (4 x + 2)(4 x - 2) est de la forme (a - b)(a + b) avec a = 4 x et b = 2. Donc :
O = (4x)^2 - 2^2\\ O = 16x^2 - 4

P = (x + 0,1)^2 est de la forme (a + b)² avec a = x et b = 0,1. Donc :
P = x^2 + 2 \times x \times 0,1 + 0,1^2\\ P = x^2 + 0,2x + 0,01

Q = (0,2y - 5)^2 est de la forme (a - b)² avec a = 0,2y et b = 5. Donc :
Q = (0,2y)^2 - 2 \times 0,2y \times 5 + 5^2\\ Q = 0,04y^2 - 2y + 25

R = (2y - 0,3)(0,3 + 2y)\\ R = (2y - 0,3)(2y + 0,3) est de la forme (a - b)(a + b) avec a = 2y et b = 0,3. Donc :
R = (2y)^2 - 0,3^2\\ R = 4y^2 - 0,09

S = (- 5 x + 2)^2\\ S = (2 - 5 x)^2 est de la forme (a - b)² avec a = 2 et b = 5 x. Donc :
S = 2^2 - 2 \times 2 \times 5x + (5x)^2\\ S = 4 - 20x + 25x^2\\ S = 25x^2 - 20x + 4

T =  (4 + y)(y - 4)\\ T = (y + 4)(y - 4) est de la forme (a - b)(a + b) avec a = y et b = 4. Donc :
T = y^2 - 4^2\\ T = y^2 - 16
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